摘 要：多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中的重要概念。本文主要对有理数域上不可约多项式的判定方法进行整理归纳。同时给出了判定不可约多项式的一些方法,最后研究了不可约多项式判别的一些实际应用。75987

毕业论文关键词：不可约多项式，判定方法，应用

Abstract： The theory of polynomial is an important point of advanced algebra。The irreducible polynomial is an significant notion of polynomials。In this paper，we classify and draw a conclusion about the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field。At the same time,the paper puts forward some judgments on the rational number field methods for judging irreducible polynomials。In the end ,we give some applications about the judgment methods of irreducible polynomials。

Keywords：Irreducible polynomial , Judgment method ,Application

目   录

1 绪论4

2 多项式不可约的相关概念4

3 有理数域上不可约多项式的判定方法及应用5

3。1 有理根判别法5

3。2 艾森斯坦判别法6

3。3 奇次多项式的判定方法10

结论12

参考文献15

致谢16

1  绪论 

形如表达式 ,其中 ,称为系数在数域 中的一元多项式。在高等代数中，多项式理论占有重要地位,而不可约多项式是多项式中的重要概念。多项式是否可约与数域密切相关,而研究多项式的可约性着重于研究有理数域上的多项式的可约性。本文主要整理归纳有理数域上不可约多项式的判定方法。研究发现,判断有理数域上多项式是否可约的问题,最终都可以等价地转化为在整数域上是否可约的问题。文献[1]中给出了艾森斯坦判别法,但有很多在有理数域上不可约的整系数多项式无法直接用艾森斯坦判别法判别,即满足判别法中的素数 不总存在。若对于某一多项式 找不到这样的一个素数 满足艾森斯坦判别法中的条件,则 可能在有理数域上可能是可约的，也可能是不可约的,故艾森斯坦判别法有一定的局限性。因此本文给出了有理根判别法，艾森斯坦直接判别法,间接判别法及几个推广定理。

2  多项式不可约的相关概念

定义2。1[1]  如果有数域 上的多项式 使等式  成立，则称在数域 上多项式 整除 ,。

定理2。1[1]  任意两个在数域 上的多项式 , ,其中 不等于0, 整除 的充要条件是 除以 的余式为零。

下面介绍整除性的几个常用的性质：

性质1。1 如果 整除 , 整除 ,那么 ,其中 为非零常数

性质1。2 如果 整除 ,  整除 ,那么 整除 （整除的传递性）

性质1。3 如果 整除 , ,那么 整除 ,

其中 是数域 上任意的多项式。

定义2。2[1] 若一个整系数多项式 的所有系数互素,则 叫做一个本原多项式。

定义2。3[1] 设 是有理数域上的一个多项式,若 的系数不全是整数,则以 系数分母的一个公倍数乘 ,就得到一个整系数多项式 。那么 与 等价。显然, 与 在有理数域上是同时可约的或是同时不可约多项式。

定义2。4[1] 数域 上次数大于或者等于1的多项式 称为域 上的不可约多项式,如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积。

不可约的判定在有理数域上整系数多项式中是比较困难的一个问题,我们一般较难掌握。以下一章将对其判定方法及其应用作一系统归纳。

3  有理数域上不可约多项式的判定方法及应用

3。1  有理根判别法