摘 要：本文运用多项式根与系数的关系研究对称多项式，并结合中学数学竞赛，举例说明对称多项式基本定理在解决有关方程的求解，多项式的因式分解等方面的应用，以指导与实践于对称多项式教学及相关数学竞赛的辅导．进一步理清对称多项式相关知识与应用．72490

毕业论文关键词： 对称多项式，中学数学，竞赛

Abstract: This paper reasearched symmetric polynomial using roots and coefficients of the polynomials relationship, and illustrated application of the fundamental theorem of symmetric polynomials in solving the relevant equations solving, polynomial factorization and other aspects of the application combining the mathematical competition of the middle school so as to guide and practice the teaching of symmetric polynomials and related mathematics competition。, also  to clarify the related knowledge and application of symmetric polynomial。

Keywords：symmetric polynomial, secondary school mathematics, competition

目   录

1  前言 4

2  一元多项式与对称多项式 4

2。1一元多项式根与系数的关系 4

2。2 对称多项式与初等对称多项式 4

2。3对称多项式的来源 5

3  一元多项式根与系数关系的应用 6

4  待定系数法在多项式中的应用 8

4。1待定系数法在齐次对称多项式中的应用8

4。2 待定系数法在轮换对称多项式中的应用9

5  对称多项式基本定理的一些应用10

结论  12

参考文献13

1  前言

数学竞赛是数学学科的一种竞赛活动，也是开拓数学创新思维，激发数学研究兴趣，发现数学人才和促进数学发展的重要手段与途径．我国数学竞赛经过三个阶段的发展已经走向了世界，取得了辉煌的成果，积累了成熟的经验，形成了一整套适合我国国情、相对稳定而又不断丰富的工作法．论文网

据相关统计，数学竞赛的试题范围多集中在这四个方面：代数、几何、初等数论、组合初步．多项式理论是代数学的一个重要内容，但它不属于现行中学数学教学内容；而对称多项式是多项式理论中的重要组成部分，也是中学数学竞赛考察的一种．为了弥补数学教材在这一方面理论上的不足，本文将从一元多项式根的研究开始研究对称多项式，通过对对称多项式一些重要理论的论述，并结合中学数学竞赛，举例说明对称多项式基本定理在解决有关方程的求解，多项式的因式分解，恒等式的证明等方面的应用．进一步理清对称多项式相关知识与应用，以指导与实践与对称多项式相关教学及中学数学竞赛的辅导．

2   一元多项式与对称多项式

对称多项式是多元多项式中常见的一种．对称多项式的来源之一以及它的应用的一个重要方面是一元多项式根的研究．因此，我们将从一元多项式根与系数的关系开始研究对称多项式．

2。1   一元多项式根与系数的关系

 设数域 中的一个多项式为：  且 在函数域 中有 个根  数域 中的根与 的系数存在如下关系: 

其中 2。2   对称多项式与初等对称多项式

定义1［1］ 一个 元的多项式，如果将其中任意两个元互换，所得的结果与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式．

根据对称多项式的定义能够推出

定理1［2］ 两个多项式的和、差、积仍然是对称多项式；在整除的情况下，商也是对称多项式．

推论1［2］ 任意多个对称多项式的积仍是对称多项式．