推论2［2］ 对称多项式的幂仍是对称多项式．

对称多项式还可以分为齐次对称多项式和非齐次对称多项式．其中齐次对称多项式中还有一类特殊的对称多项式—轮换对称多项式．

定义2［2］ 如果 元多项式的变数字母按照某种次序施行一次轮换后，得到的多项式与原来相同，则称此多项式为轮换对称多项式．

定理2［2］ 两个轮换对称多项式的和、差、积仍是轮换对称多项式；在整除的情况下，商也是轮换对称多项式．

推论3［2］ 任意多个轮换对称多项式的积仍然是轮换对称多项式．文献综述

推论4［2］ 轮换对称多项式的幂仍然是轮换对称多项式．

例如  将 互换，所得到的多项式仍为原多项式， 为二元齐次对称多项式．

如  将 中任意两个元互换，所得到的多项式仍为原多项式．此多项式为一个三元非齐次对称多项式．

注意：由对称多项式和轮换对称多项式的定义可以知道,对称多项式是轮换对称多项式，但是轮换对称多项式不一定是对称多项式．

如  是轮换对称多项式，但它不是对称多项式．

定义3［1］ 上面（1）中将 多项式中任意两个元互换，结果仍为原多项式， 都是 元对称多项式，它们也称为初等对称多项式．

2．3  对称多项式的来源

前面我们说：对称多项式的来源之一是一元多项式根的研究．由对称多项式的定义咱们能够得到，对称多项式的和、差、积以及对称多项式的多项式仍为对称多项式．

例如  与 ，它们都是对称多项式，将两对称多项式相加得  将 中任意两元交换位置，结果与原式相同，即 是对称多项式．

将 相乘，可以得到

同样将 中任意两元交换，结果与原式相同，即 是对称多项式．

如果 是 元对称多项式，而 是任一多项式，那么有

 是 元对称多项式．此处便不再举例说明，不过我们可以找一个特例，即初等对称多项式．

    事实上，任一对称多项式都可以表示成初等对称多项式的多项式．这是对称多项式的基本事实，也是对称多项式基本定理的内容．在《高等代数》、《初等代数研究》中都已经详尽的证明了．前面在研究一元多项式根与系数的关系的时候我们就已经知道，系数是对称的依赖于方程的根 的，换句话说，初等对称多项式 是依赖于文字 的．反过来说，初等对称多项式 由 表示，而 是一元多项式的根，故在解决一些对称多项式的问题的时候，我们用一元多项式根与系数的关系能达到解决问题的目的，也能使问题的解决变得容易．

注意:“对称多项式的和、差、积以及对称多项式的多项式仍为对称多项式”这句话中的对称多项式要满足两个条件:来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

①同型项；

②同型项的系数相等。

3   一元多项式根与系数关系的一些应用

接下来我们来看一元多项式根与系数的关系在中学数学竞赛中的应用。

例1 已知 是互不相同的数，解方程组

解 用反推的方法求解，即先把 看作已知数，由题设可见， 满足方程： 即：  由于 各不相同，因此它们就是这个四次方程的全部根，由维达定理得: