摘要Gronwall-Bellman型积分不等式是数学中非常重要的不等式，它在线性与非线性微分方程以及积分方程理论的产生和发展的过程中起到了不可估量的作用. 常微分方程有界性理论是常微分方程理论中的一个十分重要的分支,它具有深刻的物理背景和数学模型. 通过研读文献，本文主要得出了如下成果.49590

（1）发现现有文献中关于格朗瓦尔不等式的证明过程不严谨，我们给出了规范的证明, 并且给出了该不等式的简单应用.

（2）借助于格朗瓦尔不等式，讨论了一类二阶变系数线性微分方程解的有界性，给出了简单推广应用. 

本文中所得到的研究结果可以为本科生学习常微分方程课程提供一定的借鉴作用.

毕业论文关键词：Gronwall-Bellman型不等式  二阶微分方程  有界性

Boundedness for a Class of Second Order Differential Equations

Abstract Gronwall-Bellman integral inequality is a very important inequality in mathematics. It is the theory of linear and nonlinear differential equation and integral equation in the process of the emergence and development playing an immeasurable role. The theory of boundedness is one of important branches of differential equations. In the field of modern applied mathematics, it has made considerable headway in recent years, because all the structure of its emergence has deep physical background and realistic mathematical model. Through the study of literature, this paper obtained the following results.  

（1）The proof process in the existing literature about the Gronwall inequality is 

not rigorous, we give the proof of the specification and the simple application.

（2）With the aid of Gronwall inequality, we discuss the boundedness for a class 

of second order linear differential equations with variable coefficients. Then, we present some simple applications.

Our results can play an important role for undergraduate students about learning courses of the ordinary differential equations.

Key Words: Gronwall-Bellman inequality  second order differential equation      boundedness of the solution

目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

1 绪论-1

1.1研究背景及意义1

1.2研究现状1

1.3本文主要工作2

2 格朗瓦尔不等式及其应用-2

2.1格朗瓦尔不等式2

2.2简单应用4

2.3本章小结6

3 一类二阶微分方程解的有界性7

3.1主要结果7

3.2两个推论9

3.3本章小结-10

4 结论-10

参考文献-11

致谢-12

1绪论1.1研究背景及意义

数学家Gronwall在1919年建立出了一个著名的不等式，人们将这个不等式命名为Gronwall不等式：在区间 上面， 是区间 上的一个连续非负函数，而且满足以下条件：

 其中 是两个非负常数，则可得到下面的结论：

 .数学家Bellman在1943年对上述理论进行了推广，从而得出了一个新的著名的不等式，我们将这一个积分不等式称之为Gronwall-Bellman不等式.了解发现，Gronwall-Bellman型积分不等式是一个具有极为广泛应用性的不等式，常常会出现在许多微分方程的相关研究问题中，也是因为其独有的一些特性，数学工作者对它格外偏爱.同时，人们对该积分不等式的大量的研究工作也推进了该不等式自身的发展，使之在数学领域中发挥着越来越重要的作用.

描述某一个未知函数的导数与它自身的自变量之间的某些特定关系的方程叫做微分方程，微分方程的解是一个符合该微分方程的函数.微分方程在生活与学习中的应用十分广泛，它能够用来解决许多与导数相关的问题，涉及人们已知的各个领域，如数学、经济学、人文科技等.所以，对微分方程的性质的研究显得非常重要.