2 二元函数极限的概念

　　定义 :设 为定义在 上的二元函数, 为 的一个聚点, 是一个确定的数.若对任给正数 ,总存在某正数 ,使得当  时,都有

 称 在 上当 ,以 为极限,记作:                                          

　　这个过程是两个自变量    同时以任何方式趋近某个点,我们称之为二重极限.当然,二元函数不只有二重极限,还有累次极限,大意是指    依照一定的先后顺序相继趋于某点时的极限.

　　这个定义指的是       以任何方式趋于聚点时,函数值都无限接近于  .若函数按照某个特定的方式趋向于聚点,比如某一条直线时,函数  无限地趋近于一个值,那么此时还不能确定该函数的极限是存在的.从二元函数的定义中可以看出,二元函数的极限是一元函数中延伸过来的,涉及到    两个变量但是远比其复杂得多.

　　在数学分析中,一部分教材都只是在介绍了二元函数极限的定义,辅之以几道例题证明函数在某点极限为某值或者不存在,并未详细地教授如何求其极限,下面我将列举一些常用的求二元函数极限的方法.

3 极限的求法

3.1 二元函数的连续性

　　由[2]中给出利用二元函数连续的方法:若二元函数 在点 处连续,则有              

若 ,则由连续定义即可求出极限.

　　例1 求 

　　解:可求函数的定义域为 ,而聚点  ,所以有:

这个方法比较简单,但要求我们事先求证该二元函数在该点是否连续,若连续,则可以利用连续的定义求解极限问题.

3.2 无穷小量的相关知识

　　在二元函数中,一元函数,源!自%优尔>文)论(文]网[www.youerw.com的某些结论仍然适用,比如无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量 、等价无穷小代换、无穷大量的倒数是无穷小量等等.

　　例2 求 

　　解:先将其变形,

原式= 

可知 与 是趋于0的,为无穷小量, 在 都趋于0的情况下,是一个有界量,因为无穷小量乘以有界量后还是无穷小量,

故　其次,在一元函数中的等价无穷小可以推广到二元函数中来(参考[3]),例如有:

　解:在这里,先进行等价无穷小替换,公式(2-2),

 ,所以原式可化为:　其余的无穷小替换在这里就不过多阐释了,需要注意的是,等价无穷小替换只能在乘法和除法中应用,这点和一元函数中的情形一样.

无穷小量的相关知识是我们在一元函数部分就学习的内容,但是它同样可以帮助我们解决二元函数极限问题,需要注意的时,我们要看清具体哪个部分是可以利用无穷小量的知识,进而将复杂的函数简单化.