抽屉原理及其应用+文献综述
Principle and application of the drawer
Abstract: In the last class, we have a simple understanding of the drawer principle. Drawer principle is simple, but has many kinds of application. This paper mainly describes the application of drawer principle in number theory, algebra, geometry and the triangle inequality, and the application of the principle of drawer in life.
Key words: Drawer principle；Number theory；Higher algebra；Geometry； The triangle inequality
目 录
摘要 1
引言 1
1.抽屉原理的形式 2
1.1抽屉原理的简单形式 x
1.2抽屉原理的推广形式 x
2.抽屉原理在数学中的应用 x
2.1数论中的应用 x
2.2高等代数中的应用 x
2.3几何中的应用 x
2.4三角不等式中的应用 x
3.抽屉原理应用于生活 x
参考文献 x
致谢 x
抽屉原理及其应用
引言
抽屉原理是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。抽屉原理有时也称鸽巢原理。运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性或必然性问题。通过它来解决一些数学中的复杂问题，使问题简单化，也可以通过它解决生活中的某些现象。
1. 抽屉原理的形式
1.1抽屉原理的简单形式
抽屉原理到底是什么？例如有13个人，其中必有两个人的生肖是一样的。这个人所皆知的场所就是抽屉理论在现实中的体现。
原理1：把多于n+1个元素分成n类，不管怎么分，则必有一类元素具有2个或2个以上的元素。
证明（反证法）：如果每个元素至多只能分成一类，那么元素的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2：把多于mn+k(k>0)(m乘以n)个的元素分成n类，则至少有一类元素里有不少于m+1的元素。
证明（反证法）：若每类元素至多有m个元素,那么n类元素至多有mn个元素,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多个元素分类成n类，则一定有一类元素里含有无穷多个元素
1.2抽屉原理的推广形式
抽屉原理的加强形式：设 是给定的n个正整数。若将 件东西放入n个抽屉，则必存在j(1≤j≤n),在第j个抽屉里至少含有 件东西。
推论1.2.1：若将n(m-1)+1个元素分成n类，至少有一类元素的元素个数不少于m个。
推论1.2.2：若将m个元素任意分类成n类，则必有一类元素中至少含有x=(m-1)/n+1个元素。
推论1.2.3：若设分到第i类元素中的元素数量是 （i=1,2,3,,n），并且他们的平均数大于x，即 ，那么至少有一类元素的元素数量大于x，也就是说，这几类元素中，必有一类元素至少有x个元素。
2．抽屉原理在数学中的应用
通过学习上面的几种抽屉原理的基本形式以及抽屉原理的推广形式，来解决一些比较复杂的数学问题。下面通过一些实例来说明抽屉原理在数论、高等代数、几何和三角不等式中的应用。
2.1数论中的应用
例1.任意4个整数中，至少有两个整数的差能被3整除。
证明：任意整数被3除后余数分别为0,1,2。那么可以假设这整数分为形如3x、3x+1、3x+2这3类形式，把这3类整数看成3个抽屉，将这4个数看作是元素放入这3个抽屉中。由抽屉原理可知，至少存在2=（4-1）/3+1个整数在同一抽屉中。
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