定理5  (Cauchy判别法2)设 是正项级数,

    (1)如果从某一项开始(即存在 ,当 时),存在规律 ( 为常数),那么,有级数 收敛;

    (2)如果从某一项开始, ,那么,有级数 发散.

    例2  试判断级数 的敛散性.

    解  运用定理2得,

 ,   显然,这样的极限是不存在的,运用定理2,3,4是无法解决的,下面,我们运用定理5来解决问题,有:

 ,那么由定理5知,原级数收敛.

注  凡是可以用比式判别法(达朗贝尔判别法)判定敛散性的正项级数一定可以使用根式判别法(Cauchy判别法)进行判断,这也是我们研究根式判别法的意义所在,它的级别更高,使用起来更加方便.源'自:优尔`!论~文'网www.youerw.com

4  正项级数敛散性Cauchy判别法的推广

4.1  广义Cauchy判别法一

    定理6  设 是正项级数,若 ( 是大于1的正整数),那么:

(1)当 时,级数发散;

    (2)当 时,级数收敛;

    (3)当 时,级数可能收敛也可能发散.

    证明  因为 ,由极限的定义知: 当 时,有:

   ,       

当 时,有 足够小,使得 ,那么,存在 ,当 时,即 ,故而有 ,所以原级数 发散

当 时,有 足够小,使得 ,那么,存在 ,当 时, 成立,又因为 (m 1),而正项级数 收敛( ),那么由比较判别法知,级数 收敛,所以原级数 收敛.

当 时,取 为 级数 ,那么,有:  .                           

 但是发现: 收敛, 发散,所以,当 时,级数可能发散也可能收敛.

4.2  广义Cauchy判别法二

定理7  设 是正项级数,如果  (其中 ),那么:

(1)当 时,级数发散;

(2)当 时,级数收敛;

(3)当 时,级数可能收敛也可能发散.

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