格林公式与斯托克斯公式的证明方法探讨(2)
1. 格林公式证明方法的探讨
格林公式：设 为逐段光滑曲线 围城的有界闭区域，函数 及 在 上连续，则有：
（1）
这里 为区域 的边界曲线，并取正方向.
公式（1）称为格林公式.
1.1 利用二重积分化为累次积分证明格林公式
证 根据区域 的不同形状，一般可分三种情形来证明：
（i)若区域 既是 型区域又是 型区域，即平行于坐标轴的直线和 至多交于两点.这是区域 可表示为
这里 和 分别为曲线 和 的方程，而 和 则分别是曲线 和 的方程，于是
同理可证得将上述两个结果相加既得：
（ii) 若区域 是由一条按段光滑的闭曲线围成，如图所示，则先用几段光滑曲线将 分成有限个既是 型又是 型的子区域，然后逐块按（i）得到它们的格林公式，并相加即可.
如图所示的区域 可将 分成三个既是 型又是 型的区域 于是
（iii） 若区域 由几条闭曲线所围成，这时可适当添加直线段 把区域转化为（ii) 的情况来处理，连接了 后，则 的边界曲线由 及 构成，经过分析我们可以得到，由（ii）可以知
1.2 利用含参量积分证明格林公式
引理1.1 设 在 上连续， 为定义在 上其值域为含于 上的可微函数，则函数
在 上可微，且.
证 （i）当区域 为 —型区域时.如图 则由引理1.1 知
（ii)当D为y型区域时证法同上.
（iii）当D为一般区域时；
因D可细分成n个X—型或n个Y—型区域，或n个X—型和m个Y—型区域的混合型区域，故可仿照（i）、（ii）同样证得公式成立.
1.3 利用二重积分的分部积分法证明格林公式
引理1.2 设 是区域D= 上的连续函数， 为定义在 的可微函数，如果函数
引理1.3 设 是区域D= 上的连续,a 为定义在 上的可微函数，如果函数
则 设 证 不失一般性，设区域 如图 1所示，则有引理1.2 及第二型曲线积分的
计算公式，有 在引理1.3的条件下，设区域 的边界曲线为 ，则有
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