摘要：本文以导数为工具，证明了一些常见的不等式，如微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性，并结合一些典型例题具体论述了用导数证明不等式的一些方法.

毕业论文关键词：导数，不等式，证明 59819

Abstract: In this article, we prove some usual inequalities by making derivative as a tool, such as The Mean Value Theorem, Taylor formula, Monotonicity of the function. We combine with typical examples to detail some methods of proving inequalities by the derivative.

Keywords: derivative, inequality, proof

目   录

1 引言 4

2 利用微分中值定理证明不等式 4

2.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 4

2.2 利用柯西中值定理证明不等式 6

3 利用泰勒定理证明不等式 7

4 利用函数的性质证明不等式 8

4.1 利用函数的单调性证明不等式 8

4.2 利用函数的最值（极值）证明不等式 9

结论 12

参考文献 13

致谢 14

1  引言

导数作为初、高等数学中的重要内容，最早是由法国大数学家费马提出来的，它是微积分的基础，是研究函数、解决实际问题的重要工具.无论在初等数学还是高等数学中，导数都占据着很重要的地位.导数的应用也是极其广泛的，在数学领域中，导数常用来研究函数的极值（最值）、证明不等式、求方程根的个数等等.同时我们知道不等式在微积分中也占有很重要的地位，它反映了各变量之间的关系，而且证明不等式的方法灵活多样，在初等数学中，证明不等式的常用方法有很多，比如比较法、综合法、数学归纳法等等.然而，当不等式的形式较为复杂时，再用初等方法去证明不等式困难反而会被加大，因此我们应从高等数学的角度重新审视不等式.不等式的证明方法往往因题而异，而利用导数证明不等式反而大大降低了证明过程中的难度系数，而且所用的方法主要是通过研究不等式的特征来构造相应的辅助函数，再将辅助函数与一些知识相结合从而解决实际问题.本文主要是从微分中值定理、泰勒公式、函数的性质这三个方面的部分题型进行解析，从而归纳出用导数证明不等式的一些方法.

2  利用微分中值定理证明不等式

对于利用微分中值定理来证明不等式这一部分，我们主要研究的是利用 中值定理和 中值定理来证明一些不等式，从而归纳出用微分中值定理证明不等式的一些方法.

2.1  利用拉格朗日中值定理证明不等式

   定理1[1]  （拉格朗日（ ）中值定理）  若函数 满足如下条件：

   （i）  在闭区间 上连续；

   （ii） 在开区间 内可导，

    则在 内至少存在一点 ，使得

    例1  证明： ， .

分析  拉格朗日中值定理是证明此类不等式的常见方法，而 又刚好满足 中值定理的条件，所以可以用构造辅助函数的思想进行解题.

证明  构造函数 ，且 在 上满足 中值定理，

          故存在一点 使得 ，

          则 ，

          因为 ， ， ，

          则上式整理为 ，