摘 要：本文对罗尔中值定理，拉格朗日中值定理作了适当的推广，主要将条件中有限区间推广到无限区间，将可导推广到单侧可导等情形.

毕业论文关键词：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，推广60517

Abstract：In this paper, we generalize the Rolle mean value theorem and the Lagrange mean value theorem. We main extend the condition of finite interval to an infinite interval, and the differentiable condition to existence of right and left derivatives.

Keywords：the Rolle mean value theorem, the Lagrange mean value theorem, generalization

1  前言 4

1．1  罗尔中值定理 4

1．2  拉格朗日中值定理 4

2  罗尔中值定理的推广 5

2．1  罗尔中值定理在无穷区间上的推广 5

2．2  罗尔中值定理针对单侧可导情形的推广 6

2．3  罗尔中值定理结论的推广 6

3  拉格朗日中值定理的推广 7

3.１  拉格朗日中值定理针对三个函数情形的推广 7

3.2  拉格朗日中值定理结论的推广 8

参考文献 9

致  谢 10

1  前言

在学习数学分析过程中，我们知道微分中值定理一直被学者所重视，而将微分中值定理做适当的推广研究和将微分中值定理的条件作适当的变化也是具有重要的意义。本文将分别讨论罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，并将定理条件作适当推广，同时考虑对定理的结论作适当的变化。

1．1  罗尔中值定理

  费马定理[2]    设函数 在 可导，且 是函数 的极值点，则

  罗尔中值定理[1]    若函数 满足如下条件：

     在闭区间 上连续；

     在开区间 上可导；

则在 上至少存在一定 ，使得 ．

证明：因为 在 上连续，所以有最小值与最大值，分别用 与 表示，现分为两种情况来讨论：

     若 ,则 在 上必为常数，从而结论显然成立.                                            

 若 ,则因 ，使得最大值 与最小值 至少有一个在 上的某点 处取得，从而 是 的极值点.由条件 ， 在点 处可导，故由费马定理推得 .

1．2  拉格朗日中值定理

  拉格朗日定理[2]    若函数 满足如下条件：

     在闭区间 上连续；源]自=优尔-^论-文"网·www.youerw.com/

     在开区间 上可导，

则在 上至少存在一点 ，使得

    证明: 构造行列式型辅助函数设  因为 在 上连续 ,在 内可导,所以  在 上连续,在 内 可导,且

 即  =  =0,于是由罗尔定理知,至少存在一点 ,使得

2  罗尔中值定理的推广

2．1  罗尔中值定理在无穷区间上的推广

定理2.1  若函数 满足如下条件：

 在 内可导；文献综述

    可以为实数,也可为 ,也可为  ,

则至少存在一点 使得

 .

    证明:若 恒等于 ,则结论显然成立.