摘  要：著名的泰勒公式是一古典的数学问题，同时它也是求解数值计算问题的一个重要工具.本论文主要通过泰勒公式的概念公式和数学原理，给出其在求解数值分析问题中的具体应用.通过本文的论述，可知泰勒公式在解决一些复杂的数学问题中能起到事半功倍的作用.60523

毕业论文关键词：泰勒公式，数值计算，应用

Abstract: The famous Taylor's formula is a classical mathematical problem. At the same time, it is also an important tool to solve the numerical computation problems. Through the Taylor formula of the concept and the mathematical principle, the specific application is given in the numerical solution of analysis problems. Through the discussion of this article, we can see the Taylor formula can get twice the result with half the effect in solving some complex mathematical problems.

Keywords: Taylor   formula; Numerical calculation; Application

目   录

1  引言 4

2  泰勒公式的概述 4

3  泰勒公式在数值计算中的应用 5

3.1  导出迭代公式[1] 5

3.2  在数值积分中的应用 7

3.3 泰勒公式在误差估计中的应用 8

3.4  在求高阶导数中的应用 9

3.5  在近似计算中的应用 10

结  论 13

参考文献 14

致  谢 15

1  引言

泰勒定理开创了有限差分理论，使一些复杂的函数能展开成简单的公式，从而使其形式简易化．在数值计算中，由于泰勒公式形式简单易懂，故有着非常广泛的应用．利用它化繁为简的作用，将很多复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，使它成为研究和分析众多数学问题的桥梁纽带，在解决一些复杂的问题中有着不可替代的作用．

2  泰勒公式的概述源]自=优尔-^论-文"网·www.youerw.com/

 定理1  设函数 在点 处的某邻域内具有 阶导数,则对该邻域内异于 的任意点 ，在 与 之间至少存在一点 ，使得：

公式(1)称为 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 阶泰勒公式, 的表达式(2)称为拉格朗日型余项[2].

 定理2  若函数 在点 存在直至 阶导数,则有

     (3)

公式(3)称为 按 的幂展开的带有佩亚诺型余项的 阶泰勒公式,形如  的余项称为佩亚诺型余项.

特别地：在泰勒公式(1)中,如果取 ,则 在0与 之间,因此可令

 从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式:

               (4)

在公式(3)中,如果取 ,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

 [2].                            (5)

常见的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

1.                                               (6) 

2.                                 (7)

3.                             (8)