简约梯度法求解约束非线性优化问题的推广应用及其在Matlab中的实现 (3)
(8)
定理 如果 是由上式所确定的向量，则
(1) 为 在 点关于 的可行下降点.
(2) ，充分必要条件是 点是非线性规划问题的K T点.
定理2 设 在 处可微， 在 处连续， 在 处连续可微，每个
都线性无关.如果 是 局部最优解存在实数 和 ,
满足定理2称为 的K T条件，满足K T条件的所有点称为K T点.
因为 当 时总有
当 时有 (9)
解问题(1)的简约梯度法的计算步骤.
第1步 选取初始可行点 ，终止误差 ，
第2步 设 是 的 个最大的分量的下标集，矩阵 分解为
第3步 计算 ,简约梯度
第4步 按照(8)计算可行下降方向 . ，迭代结束，输出 .否则转到第5步；
第5步 进行一文搜索，计算
求得最优解 ， 由(9)式确定，令 转到第2步.
由上式确定的简约梯度法就确定为简约梯度法.
该简约梯度法是对线性等式适用的，但是对于不等式约束则需要增加松弛变量才能化不等式约束为等式约束，增加了文数与原来的降文数意义相反.
2. 简约梯度法的改进 考虑问题 (10)
其中， ，
可行域为
对于每个可行点 有
都是线性无关的.矩阵 分解为
由非零向量 为可行点 的充分必要条件为
得出 处可行下降方向的集合表示为
其中 为满足 的非负向量 可以分解为
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