摘 要：本文依据矩阵的性质和齐次线性方程组有解的充分必要条件，总结了几类矩阵方程有解的判定，并给出部分矩阵方程的解。

毕业论文关键词：矩阵，矩阵方程, 矩阵的秩, 解64727

Abstract：In this paper, based on the nature of the matrix and the homogeneous linear equation solutions, summarizes several kinds of matrix equation solution to the criterion, and gives the solution of matrix equation.

Keywords：matrix，matrix equation, the rank of matrix, solutions

目   录

1 引言  4

2 矩阵方程 ， 的解  4

3 矩阵方程 的解       8

4 矩阵方程 的解    10

5 矩阵方程 的解    11

结论  13

参考文献  14

致谢  15

1  引言

    矩阵方程，简单的说就是未知数为矩阵的方程.矩阵方程是数值代数的重要研究领域之一，在最优控制，统计分析，振动理论，结构动态设计等领域中有着十分广泛的应用，提出了各种类型的矩阵方程，因而对于他的求解就具有很重要的理论意义和很高的应用价值.

    设 为数域 上的 矩阵， 为数域 上的 矩阵， 是数域 上的 未知矩阵， 矩阵 称为矩阵方程 的增广矩阵，记为 [1].

    本文用 表示矩阵 的秩，用 表示单位矩阵， 表示矩阵 的转置[1].

2  矩阵方程 , 的解文献综述

    定理1[2]  矩阵方程 有解的充要条件是 .

    证明 首先证明充分性 把矩阵 分解成 个线性方程组

 ,（ =1,2,, ）,

其中 为矩阵 的第 列，因为 , 从而 有解，记为 ，则由 为列组成的矩阵 ，

为 的解.

    其次证明必要性  由 有解，设其解为 ,则 的第 列为线性方程组 的解，从而方程组有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即

 ,（ =1,2,, ），

所以 ，即 .

    定理2[2] 若 且 = 时 则矩阵方程 有唯一解.

证明 设 为矩阵 的列向量生成的子空间， ,为 的列向量， 为 的列向量. ，所以 线性无关，从 是 的一组基.又因  ，所以 的每一列 ∈ ，从而 能由 的基线性表示，且表示法唯一.因此，矩阵方程 有且仅有一个解.

    定理3[2]若 = ，则矩阵方程 有无穷多解.源:自~优尔-味·论`文'网·www.youerw.com/

    证明 因为 = ，所以 可以经由初等行变换和前 列的第一种初等变换，变为 

 ，

的形式，此处的O为 的零矩阵. 由线性方程组知识，可得矩阵方程 

 ，

与矩阵方程 同解。上式等价于 +  = 则 = -  ,其中 为 矩阵, 为 矩阵, 为 矩阵, 为 矩阵.因为 ，则 >0，所以 存在，此时 可以为任意的 矩阵, 所以由 = -  可得 有无穷解.

    例1 设 为3×4矩阵，又

 = ， = .

问：矩阵方程 是否有解？有多少解？

    解  由于 =2 3，故 有解且有无穷多解.

    例2 设 为2×2矩阵，又

           = ， = .

  问：矩阵方程 是否有解？有多少解？

    解  因为 =2= ，故 有唯一解.