摘　要：常系数非齐次线性微分方程是微积分理论的重要组成部分，在数学及其他领域中都有着比较广泛的应用．本文运用积分因子法，待定系数法，常数变易法，降阶法和微分算子法等方法来求解常系数非齐次线性微分方程问题．64728

毕业论文关键词：微分方程，积分因子法，待定系数，常数变易，降阶

Abstract: The non-homogeneous linear differential equation with constant coefficient is an important part of the calculus theory. It has a lot of widely applications in the area of mathematics and subjects. We uses the integrating factor method, the method of undetermined coefficient, variation of constants, the method depression of order and other methods to solve the problem of non-homogeneous linear differential equation with constant coefficient.

Keywords: differential equation, integrating factor method, undetermined coefficient, variation of constants, depression of order

1　引言…4

2  预备知识…4

3  常系数非齐次线性微分方程的常用解法…6

3.1　积分因子法6

3.2　常数变易法…7

3.3　待定系数法…8

3.4　降阶法9

3.5  微分算子法…10

3.6　Laplace变换法…11

结论12

参考文献13

致谢14

1  引言

我国著名数学家秦元勋说过，常微分方程是一门经历了长久发展的的学科，这一学科既有丰富的理论意义又有实际应用价值．在客观上体现自然规律，在功能上为数学提供了实际服务[1]．

微积分的创立使得18世纪数学出现了蓬勃发展的热潮，正是在这样的学科背景下，微分方程理论得以出现和发展．伽利略于1638年在研究自由落体运动时得到的 是一个常数，这是数学史上出现的第一例常微分方程．1669年，牛顿发表了关于用无穷级数求解微分方程的论文．同时，牛顿的这篇论文也成为了微分方程求解的开端[2]．

微分方程理论建立后，如何求解微分方程便成了数学家们首要解决的问题．经过300多年的研究，关于一阶、二阶微分方程问题的解法已经相当完善，而对于高阶微分方程的通解依然不能完全求出．仅仅对于某些特殊的高阶微分方程的通解，常微分方程教材给出了几种常见的解法．

本文着重研究的是微分方程中比较简单，但是在微分方程中有重要地位的一类方程，即常系数非齐次线性微分方程．这类微分方程在数学及其他领域中都有着比较广泛的应用．高等数学教材和常微分方程教材中常用积分因子法、常数变易法、待定系数法、降阶法和微分算子法等方法来求解常系数非齐次线性微分方程问题[3]．对于常系数非齐次线性微分方程初值问题，用拉普拉斯变换法则更快捷的解决问题．论文网

2  预备知识

定义1　若方程中含有未知函数的导数或微分，则称该方程为微分方程．

    当微分方程中未知函数为一元函数时，称其为常微分方程．常微分方程中未知函数最高阶导数的阶数称为常微分方程的阶．

若将关于 的函数代入微分方程，得到关于 的恒等式，则称该函数为方程的一个解．若微分方程的解含有 个独立的任意常数，称为该方程的通解．

定义2[4]　若微分形式的一阶齐次方程的左端是一个二元函数 的全微分，即

 ，则称该方程是全微分方程．

    若存在连续可微函数 ，使齐次微分方程 

成为全微分方程，称 为微分方程的一个积分因子．

定义3　方程中所含有的未知函数和未知函数的各阶导数的次数都是一次的微分方程称为线性微分方程．这样， 阶线性微分方程具有如下形式：