于是由此柯西不等式   得证.

证法3：

    利用向量内积证明

设   ，   ， 是 和 的夹角，

由向量积公式可得；

 =   ，  ，

故可以得到：此时又可以得到：柯西不等式   得证.证法4：

    用线性相关性证明柯西不等式 

设 为向量空间，若   ，      ，则    成立.当且仅当向量 与 线性相关时,该不等式式取等号.

证明过程如下：源:自~优尔-味·论`文'网·www.youerw.com/

     设 与 线性相关，则存在不全为 的实数 使得 +   ，由此就有 （其中  ）将其代入上式，可得到等号成立.

     若 ， 线性无关，则对每一个  ,都有 ，即至少有一个 ， 使得 ，于是，

   ，或者因为 ，否则 线性相关矛盾.

于是就有 不全为 ，且 ，所以可以得到 即     ，

于是就可以得到以下结论：

     如果    的等号成立，则 和 肯定线性相关.

如果 和 线性不相关，那由 可以得到如下结论：

    中的等号必定成立.

综上，   得证.