,即   .

因为 所以 ,考察 

    ,

           ,

当 时,至少存在一个正根   ,使 ;

当 时,不妨只考察 ,因为   ,并且

  ,

所以至少存在一个正根   ,使 .

因此,方程  至少有一个正根,且不超过 .

例2 证明:若 , 为正整数,则存在唯一正数 ,使  

 .

证明 先证存在性.由于当 时,有 ,故必存在正数 ,使得 . 

  因 在 上连续,并有 ,故由介值定理,至少存在一点

 ,使得 .

再证唯一性.设正数 使得 ,则有

   .

由于第二个括号内的数为正,所以只能 ,即 .

例3 设 在闭区间 连续,满足 .证明:存在 ,使得 .

证明 由条件知:对任何 有 ,特别有  以及  .

若 或 ,则取 或 ,从而 成立.

现设 与  令 ,则  .源:自~优尔·论`文'网·www.youerw.com/

故由根的存在性定定理,存在 使得 即 . 

4 介值定理在解不等式中的应用

我们该当都知道,倘若原命题成立,则这个命题的逆否命题也必然成立的,故而我们不需要对逆否命题进行证明,事实上我们在利用介值定理解决解不等式的问题时,并非直接利用“根的存在定理”,却是应用的“根的存在定理”的逆否命题.接下来我们将给出根据根的存在定理得到的逆否命题和推论命题.

设函数 在某一区间 (也可指 、 、 )内有定义且连续.

(1)(1)(根的存在定理——逆否命题)假如方程在内没有根,那么函数的值在内就应保持相同的符号(正号或者负号);

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