拉普拉斯变换被用于求解微分方程，主要是应用拉普拉斯变换的几个性质，使求解微分方程转变为求解代数方程，而且，可以很方便地对求解结果进行拉普拉斯逆变换从而得到原微分方程的解。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及综合控制系统的校正装置提供了可能性。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上也都有广泛的应用。

1.2  主要内容

本文基于傅里叶变换和拉普拉斯变换的发展和应用，查阅国内外许多著名数学、物理学、经济学家关于傅里叶分析的发展、应用、研究等方面大量理论著作、期刊、杂志上的研究文献。借鉴其中理论研究成果，并将在此基础上进一步做出探讨和拓展，在以下三个章节着重研究如下几个问题：

（1）第2章中将主要描述傅里叶变换的历史由来及其概念性质。综合前人的研究，结合国内外的发展状况，对傅里叶分析的产生和发展进行逐步的阐述。

（2）第3章中将主要说明拉普拉斯变换的定义和基本性质，并通过对文献的梳理，阐述傅里叶变换的与拉普拉斯变换的区别和联系。同时也给出了几类广义的拉普拉斯变换，并进行了研究。

（3）第4章中将主要研究傅里叶变换在热传导方程、波动方程中，以及非线性偏微分方程求解中的应用。着重举例解析傅里叶变换，数学软件在偏微分方程中的应用并进行实际的操作。

（4）第5章中将主要研究拉普拉斯变换在波动信号问题、非稳态热传导方程及一类一阶变系数线性偏微分方程中的应用。并对傅里叶变换和拉普拉斯变换进行比较研究，说明两类积分变换之间的区别联系。

本文前半部分首先对两类积分变换进行了一些基础的了解和梳理，为之后的实际使用与分析奠定了基础。本项目后半部分采用以实际使用为主的探讨方法，利用数型结合的方法，对两类积分变换有一个更直接的了解。

第2章  傅里叶变换

在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。论文网

傅里叶变换是积分变换中常见的一种变换，它是一种对连续时间函数的积分变换，即通过某种积分变换，把一个函数化成另一个函数，同时还具有对称形式的逆变换。它通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。它既能简化计算，如求解微分方程，化卷积为乘积等等，又具有非常特殊的物理意义，不仅在数学的许多分支中，而且在自然科学和各种工程技术中都有着广泛的应用，因此它已成为不可缺少的运算工具。

2.1  傅里叶变换的由来

1804 年，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源。