从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析zhuyi的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：文献综述

（1）傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子；

（2）傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似；

（3）正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质, 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

（4）著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算, 从而提供了计算卷积的一种简单手段；

（5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2.2  傅里叶变换的定义

由傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数，而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来。根据这个思路，我们可以得到傅里叶积分公式及傅里叶积分公式成立的充分条件———傅里叶积分定理。

定理2.2.1 傅里叶积分定理    

如果 在 上的任一有限区间满足狄利克雷条件，且在 上绝对可积，即

则

利用傅里叶积分定理可以得到傅里叶变换的定义。

定义2.2.1  设 在 上有定义，且

①在任一有限区间上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点）；

②在无限区间 上绝对可积，即源.自/优尔·论\文'网·www.youerw.com/

则有傅里叶积分公式

               (1.1)

在 的连续点 处成立，而在 的第一类间断点 处，右边的积分应以 代替。

在傅里叶积分公式(1.1)中，若令

         (1.2)

则

      (1.3)

从(1.2)、(1.3)两式可以看出 和 可以通过积分运算相互表达。(1.2)式叫做 的傅里叶变换式，可记为：

 叫做 的像函数。(1.3)式叫做 的傅里叶逆变换式，可记为

 叫做 的像原函数。

一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅立叶变换将平方可积的函数 表示成复指数函数的积分或级数形。在数学中，连续傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。在数学分析中，信号 的傅里叶变换被认为是处在频域中的信号。这一基本思想类似于其他傅里叶变换，如周期函数的傅里叶级数。