摘 要:本文研究含一类p-q-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程组.利用Nehari流形,在一定条件下,我们得到了弱解的存在性.

毕业论文关键词:p-q-Laplacion算子,Nehari流形,弱解66016

Abstract :  We investigate a class of quasi-linear elliptic system involving p-q-Laplacian operators. Under suitable conditions, we obtain the existence of weak solution with Nehari manifold. 

Keywords : p-q-Laplacian operators, Nehari manifold, weak solution  

目   录

1 前言 4

2 预备知识 7

3 主要结果的证明 9

参考文献15

致谢  17

1 前言

现代科学技术的发展很大程度上依赖于物理,化学,生物学及工程技术等领域的成就和进展,而这些学科自身的精确化,则是取得进展的重要保证.学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的,在精确化过程中提出了大量的非线性问题,许多是非线性偏微分方程(组),这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用,同时也对数学自身的发展有重要的影响.国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程,一部分是拟线性偏微分方程,这些方程都受到了科技界的高度重视.论文网

本文将研究如下含p-q-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程组:

                                    (1.1)

解的存在性和多解性,其中 是 中的有界域, λ ,   >  0, 1  <  q < p  <  N, 1 < r <  ,  .

当  ,   时,方程组(1.1)即为下面的形式:

                       (1.2)

当 , , , 时,方程组(1.1)即为p-Laplacian方程:

                           (1.3)

关于问题(1.3)和(1.2)的研究效果相当丰富,如在文 中研究了

                 (1.4)

其中 , , 作者获得了与文 类似的结论. 在 中, Prashanth-Sreenadh 在 , 的条件下得到了问题(1.4)在单位球 上解的存在性.

Xu 和Yang 在文 中建立了下面问题:

                                (1.5)

解的存在性,其中 ,作者证明了存在常数 ,使得当 时, 问题(1.5)至少存在一个正解.

     关于椭圆型方程组的研究成果也很多,特别是下面形式:

                        (1.6)

其中 , 当 时, Alves在文 研究了(1.6), 并得到对于任意 问题(1.6)都存在最小能量解, 这儿 表示算子 的第一特征值. 其他的如Han在 中考虑了问题(1.6)的多解性; 当 时, Hsu在文 中研究了问题(1.6)的多解性; 在Hsu之前, Wu在文 中研究了下面的含变号位势的半线性椭圆型方程组:文献综述

            (1.7)

作者证明了当参数 属于 的某个子集时, 问题(1.7)至少存在来年各个正解.

当 ,   , 时,方程组(1.1)即为p-q-Laplacian方程:

                                     (1.8)

问题(1.8)来自一个反应扩散组

 ,                          (1.9)

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