摘要:本文主要结合广义初等矩阵和广义初等变换的相关知识，探讨了分块矩阵的性质， 并讨论了分块矩阵在高等代数解题中的应用.70753

毕业论文关键词:分块矩阵，阶数，矩阵的逆，特征值

Abstract:In this paper, we mainly discuss the properties of the block matrix by combining the knowledge of Generalized Elementary Matrices and generalized elementary transformation, and discuss the application of block matrix in the problem solving of higher algebra.

Keywords: block matrix, order number, inverse of a matrix , eigenvalue

目 录

1 引言 3

2 广义初等矩阵和广义初等变换 3

3 分块矩阵的具体应用 5

3.1 关于求行列式值问题 5

3.2 关于求解矩阵逆的应用 7

3.3 关于求解非奇次线性方程组的应用 9

3.4 关于利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 10

3.5 关于求矩阵特征值的应用 11

3.6 关于分块矩阵的其他应用 11

结论 13

参考文献 14

1 引言

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中.在 物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中， 三维动画制作也需要用到矩阵.矩阵的运算是数值分析领域的重要问题.将矩阵 分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算.论文网

由 m n 个数 aij 排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列的矩阵，简称 m n 矩

阵.记作：

这个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩

阵 A 的 i, j元，以数

aij 为 i, j元的矩阵可记为 aij 或 aij

，mn 矩阵 A 也记

作 Amn.

有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组 成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分 块.本文将会简单介绍一下 2 2 广义分块矩阵和广义初等变换，并且主要讨论一 下分块矩阵在高等代数解题中的应用.

2 广义初等变换和广义初等矩阵

为了适应矩阵乘法的运算，我们应该对原先所学的初等变换得概念加以改 进，以此来达到简化矩阵运算的目的.下面我们将给出广义初等矩阵的定义.

定义11我们以 A

为例，以下三种变换称之为广义初等行变换：



（1）交换矩阵的两行，即 C D；

（2）某一行左乘一个矩阵 P ，即 PA

（3）一行加上另一行的左乘 P （矩阵）的倍数，即  A B .

C PA D PB

类似的，以下三种称之为广义初等列变换：

（1）交换矩阵的两列，即 B