2.同余问题...13

        3.整除问题...13   

        4.素数问题...14

        5.不定方程...14

四、展望与小结...16

五、参考文献.17

六、致谢.17

一、引言

    我研究的是数学竞赛中的数论问题。数学竞赛是一种活动，即解决数学难题的竞赛就产生。最初的竞赛至少可以追溯到16世纪初。初等数论是最古老的数学分支之一，主要研究数的规律、整数性质，它是数论的一个分支，其中古希腊人对数论的发展做出特别了重大的贡献。

初等数论在处理问题方面技巧性比较强，它的发展有着较长的历史，数论和其思想又是数学竞赛中的重要一部分，不管是中小学数学竞赛，或是IMO中，都涉及数论的思想。数学竞赛是数学教育的重要组成部分，对学生的数学思维有着重大的提高作用。而且初等数论在培养人们思维能力方面有着非常重要作用，所以它在国内外数学竞赛中占有比较重要的位置。

过去的几年里有不少学者研究这个课题，这个内容也被研究的比较通彻，以至于近几年都很少有这样类似的文章出现。我无非是在老生常谈，在前人的基础上，加入自己的一些见解。随着数学竞赛的发展，竞赛数学已逐渐形成一门特殊的数学学科。竞赛数学的目的是让广大青少年的思维得到训练和提高。解答好一题数学竞赛题需要学生具有宽广的数学基础知识及对数学的本质要有一定的洞察力和创造性。同时竞赛数学也能激发学生学习数学的兴趣。数学竞赛是数学教育的重要组成部分，对学生的数学思维有着重大的提高作用。

 纵观各类数学竞赛试题，我发现由于初等数论的很多知识容易被中学生理解和接受，所以数论题在数学竞赛中都占一定的比例。这类试题技巧性很强，对培养学生的思维能力有重要作用。本文的主要是通过举例说明如何灵活运用整除理论、欧拉定理和孙子定理等数论的基本知识来解答竞赛题。

初等数论貌似简单，其实要是真正的掌握并不是很容易的事情。十多年来，我国的数学竞赛活动发展较快，尤其是对我国中小学生影响较大。水平较高的国际数学奥林匹克竞赛中，我国学生多次荣登榜首，成绩斐然，这充分显示了中华民族的聪明才智和数学天赋。我们了解一下数学竞赛史也是可以的。

本文先就数学竞赛的发展历史和数学思维的研究进行了简单分析，然后分析了数学竞赛的主要内容，命题等以及初等数论中的几个重要猜想。最后一部分论述了初等数论思想方法在数学竞赛中的一些应用，刺激更多的人热爱数学以及数学竞赛活动，对数学爱好者也是一种启迪。最后是对数学竞赛的小结与展望。

二、关于数学竞赛和竞赛数学

（一）数学竞赛

1.国际数学奥林匹克的发展

    国际数学奥林匹克竞赛的发展历程，大体经历了三个阶段，分别是：

    第一阶段，从1894年的匈牙利首开数学竞赛的先河到1959年的第1届IMO。在这个时间段内，虽然有一些小型的国家之间的数学竞赛，但那只是局部的现象，并不是大范围的。这个阶段是国际数学竞赛的国内装备阶段。论文网

    第二阶段，从1959年第1届的IMO到1979年的第21届IMO。在这个阶段实现了三个突破：第一是国界的突破，源于不同国家的学生都可以在一起进行数学竞赛。第二是地域方面的突破----从欧洲发展到全世界。第三是意识形态的突破，不同社会制度国家的学生可以在一起进行数学竞赛。由此数学竞赛由局部到世界，变成一个全球范围内的竞赛活动。这个阶段是数学竞赛由地区性崛起到全球性发展的阶段。