18世纪，许多数学家尝试将几何或代数而非极限作为微积分的基础，都以失败告终。达朗贝尔则坚持将极限作为微积分的基础，给出定义：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”该定义虽然接近极限的正确定义，但仍然无法摆脱对几何的依赖，因此仍未被接受。

18世纪末，贝尔纳·波尔查诺首次用极限给出了函数的某一区间上连续的定义，他是成功地应用极限理论的第一人，但并没有受到学者们的重视，对微积分没有起决定性的影响。

直到19世纪，柯西在前人的基础上，较完整地阐述了极限概念及其理论。他在《分析教程》中给出极限的定义：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一固定数值时，则该固定值称为这一串数值的极限。特别的，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”[6]同时他引入“ ”表示极限，用“ ”表示任意小的差。柯西成功地描述了无穷小量的概念，他把无穷小量看作以0为极限的变量，它在变化过程中不为0但趋势是变为0，解决了牛顿和莱布尼兹对无穷小量解释不清的问题。柯西致力于将极限概念脱离以往的几何观念，但他的叙述中还包含“无限地趋向”、“无限地减小”等描述性语言，因此还没有达到完全的严密性。

到了1872年，相对于柯西对极限的定性描述，威尔斯特拉斯用算术方式给出了严密的定量描述，即“ ”语言，从此极限概念完全摆脱了几何的直观。“如果给定任何一个正数 ，都存在一个正数 ，使得对于区间 内的所有的 都有 ，则称 在 处相连；若 ，则说 在 处有极限 ，即 。”在特殊函数—数列极限的定义中采用“ ”语言：“对任意 ，总存在自然数 ，使当 时，不等式 恒成立，则 。”威尔斯特拉斯利用 与 间的关系，仅通过比较数的关系得出极限的定义，相较于用“趋向”等词，该描述更加有数学色彩，也更加严密。

二 极限思想与方法在微积分中的作用与地位

从上文提到的极限思想发展史可知，极限概念是微积分学的基础。微积分学有三大分支：微分学、积分学、级数，而其中包含的三个基本定义：连续、可导和可积，都是通过极限的形式定义的。极限就像一根线，将组成微积分学的不同概念连接起来。文献综述

1 极限与连续

18世纪，数学家对连续函数的认识还停留在几何层面上，直到19世纪，柯西以及威尔斯特拉斯严格定义极限后，才赋予连续函数准确的定义。

连续，从字面上很好理解，我们不难举出连续或不连续函数的例子。如 在每一点都连续， 在每个整数点都不连续等等。但光从图象判断函数是否连续并不是一个好办法，为了对连续函数有更深层次的理解和研究，我们需要一个明确的定义。由图象可以发现，函数 在 点连续指的是函数 在 点的极限存在，且等于 ，它将极限与函数值相联系。

若函数 在 点的附近包括本身有定义，且

 ，

则称 在 点连续，称 点是 的连续点。

该定义也可用 语言表示：对 ，总 ，使当 时，有

 。

2 极限与导数

18世纪，欧洲进入资本zhuyi萌芽时期，同时产生了大量无法用初等数学解决的生产问题。为了解决力学中求速度与加速度问题以及求曲线切线问题，牛顿和莱布尼兹建立了导数概念。