例1 设齐次线性方程组

其中 。试讨论 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解。

解 设方程组的系数矩阵为 ，则

 ，

当 ， 时， ，方程组仅有零解；

当 ， 时， ，方程组有无穷多解；

当 ， 时， ，方程组有无穷多解；

当 ， 时， ，方程组有无穷多解。

解线性方程组的基本步骤包括：

（1）对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩确定方程组有没有解；

（2）当方程组有解时，继续对增广矩阵作初等行变换，将其化为最简形矩阵，用系数矩阵的秩和未知量的个数确定方程组有多少解；

（3）当方程组有无穷多解时，选定自由未知量，并对自由未知量赋值，求出所有解。文献综述

例2 设有齐次线性方程组

 ， ，

问 取何值时，方程组有非零解，并求出通解。

解 对方程组的系数矩阵 作初等行变换，有

 。

当 =0时， ，方程组有非零解，其同解方程组为

 ，

由此得出基础解系为

 ，

于是方程组的通解为

 ，

其中 为任意常数。当 时，对 作初等行变换，有

 ，

可知，当 时， ，所以方程组有非零解，其同解方程组为

因此，方程组的基础解系为

 ，

于是，方程组的通解为

 ，其中 为任意常数。

3 利用矩阵初等变换判断向量组的线性相关

定义3。1[2] 若向量组 中，有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组 是线性相关的。

定理3。1[2] 设向量组 线性无关，向量组 线性相关，则 可由向量组 线性表出，且表示法唯一。

定义3。2[1] 设有两个向量组

 ，

若向量组 中的每一个向量，都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示。若向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

要使得向量组 线性相关，实际上就是判断方程组 是否有零解。因此，判断向量组线性相关还是线性无关的方法为[3]：

（1）将向量组 以列排成矩阵 ；来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

（2）对矩阵 进行初等行变换，得出矩阵 的秩 ；

（3）比较 和 的大小，若 ，则方程组有非零解，向量组线性相关；若 ，则方程组只有零解，向量组线性无关。

另一种判断向量组 是否线性相关的方法为：

（1）将向量组 以行排成矩阵 ；

（2）对矩阵 进行初等行变换，得出阶梯型矩阵 ；

（3）若矩阵 中出现零行，则向量组线性相关；若矩阵 中不出现零行，则向量组线性无关。