摘   要：矩阵可对角化的问题是矩阵理论中的一个重要的问题。本文通过对可对角化矩阵的性质以及应用等方面的研究,突出了可对角化矩阵在代数学中的地位。从而帮助我们对矩阵概念有更加深入的了解。72555

毕业论文关键词： 矩阵, 对角化, 特征值, 特征向量

Abstract：Matrix diagonalization problem is an important problem in matrix theory。 In this paper, based on diagonalization matrix properties and application research, and highlight the status of diagonalization matrix in algebra。 

Key words：matrix, diagonalization, eigenvalue, eigenvector

目    录

1  引言

1。1  矩阵产生的背景及地位3

1。2  矩阵对角化的意义4

2  矩阵对角化的充要条件证明和方法

2。1  矩阵对角化的几个充分必要条件4

2。2  矩阵对角化的方法5

3  矩阵对角化的应用10

4  参考文献13

1 引言

1。1  矩阵产生的背景及地位

自19世纪凯利引入矩阵概念以来,矩阵理论已逐渐成为数学发展中的一个重要分支,它既是学习经典数学的基础,也是一门最有实用价值的数学理论,并且已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。 《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目,基本内容包括: 行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧式空间等理论,而矩阵在线性代数中处于核心地位。

这就涉及到我们研究矩阵的意义,那么矩阵在我们的所学习的线性代数中究竟扮演着什么样的角色呢？

    1、矩阵为行列式的计算提供了新的技巧。所有的《线性代数》教材都把行列式作为第一部分, 由于暂时没有学习矩阵知识, 所以计算行列式的方法仅限于定义法、化三角形法、降阶法、递推法和加边法等,但是在具备了矩阵知识之后, 矩阵为行列式的计算提供一些新的技巧。论文网

    2、矩阵是求线性方程组的解和判别解的情况的最佳工具。首先, 线性方程组可以用矩阵表示为 。其次, 解线性方程组的基本方法是消元法, 消元法的本质就是对线性方程组的增广矩阵进行初等变换。 最后, 用矩阵的秩刻画线性方程组解的情况。

    3、对称矩阵是二次型的简化形式。由于二次型与对称矩阵之间是一一对应关系, 二次型的化简实质上也是对称矩阵的合同变换, 而且二次型有什么概念和结论( 例如正定、惯性指标等), 对称矩阵也有相应的概念和结论, 所以研究二次型本质上就是研究对称矩阵, 也就是说, 二次型可以简化对称矩阵。

    4、矩阵组成线性空间的一个特例, 也成为线性空间的研究工具。一方面,数域 上的全体 矩阵组成一个线性空间 ,为线性空间提供了一个重要实例。另一方面, 矩阵能准确地表达有限维线性空间的两组基之间的关系和同一向量关于不同基的坐标, 利用矩阵的可逆性还可以判断向量的线性相关性和向量组的等价性, 所以, 矩阵是研究线性空间的重要工具。

    5、矩阵是线性变换的化身。由于在取定了 维线性空间 的基之后, 的线性变换与 阶矩阵之间是一一对应关系, 且线性变换的运算与矩阵的运算也保持一致, 也就是说, 线性变换与矩阵是两个同构的代数系统, 所以在代数意义下, 矩阵与线性变换没有本质区别。因此, 我们可以形象地说, 矩阵就是线性变换的化身。