1。2 矩阵对角化的意义

   从矩阵对角化的理论上看,矩阵对角化相当于对矩阵在相似意义下给出的简单的等价形式,这对理论的分析在某种程度上简便了很多。相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式、特征根、行列式如果单纯只是关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没多大区别,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式。而对角矩阵是最简单的一类矩阵 ,利用对角矩阵来研究一类矩阵,研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。文献综述

另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过渡矩阵反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义非常明显,再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论。例如,实对称矩阵总可以对角化。

从实践中,对于矩阵对角化的研究的意义就显得特别明显,例如计算一个一般三阶实对称矩阵 的 次幂,当 较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数增长。但是,如果将 对角化,那么计算的过程就会简单很多,这也是我们要研究矩阵对角化的一个特别明显的原因,具体例子会在本文第三章具体介绍。

2  矩阵对角化的充要条件证明和方法

2。1  矩阵对角化的几个充分必要条件 

定义1   设 是数域 上的一个n阶方阵,如果存在数域 上的一个可逆矩阵 ,使得 为对角形矩阵,那么就说矩阵 可以对角化。

定义2   设 是 阶方阵,若存在 维非零向量 ,使

                     ,

则称数 为 的特征值或本征值,并称此非零向量 为 属于 的特征向量或本征向量。

下面给出矩阵对角化的若干个充分必要条件

定理1   矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。

定理2   矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个互异的特征值。

定理3   矩阵 可对角化的充分必要条件是 的特征子空间的维数之和为 。

    定理4   矩阵 可对角化的充分必要条件是 的重特征值对应的线性无关向量个数等于该特征值的重数。

    定理5   在复数域上,矩阵 可对角化的充分必要条件是 的初等因子是一次多项式。

由于每个初等因子都对应了一个若当块,例：一个初等因子为 的矩阵,它所对应的若当块为

而若当形矩阵是由这样的若当块组成的。例如 

所以如果每一个若当块都是1阶,那么,这个若当形矩阵 就成了对角阵,那么与之对应的初等因子都是一次的。

定理6   在复数域上,矩阵 可对角化的充分必要条件是 的不变因子无重根。

定理7   在复数域上,矩阵 可对角化的充分必要条件是 的最小多项式 无重根。 

例1  判断矩阵 

是否可对角化？

解  矩阵 的特征多项式为 ,

解得     ,由于 有三个互异的特征值,则 可对角化。

2。2矩阵对角化的方法

    在对矩阵对角化的充分必要条件作了归纳整理之后,利用对充分必要条件的了解,接下来我们讨论如何将矩阵对角化。

    首先介绍一般矩阵对角化方法--特征值特征向量法。来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

①　步骤求出 的特征多项式 在数域P中全部的根,它就是矩阵 的全部特征值;

②　将所求出的特征值组个带入方程组 ,对于每一个特征值,求解方程组 ,求出一组基础解系 ,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量;