在未来的数学竞赛试题中，不等式赛题将不单单只考察关于不等式的基础知识，还会与其他知识点结合，比如几何知识、组合知识和函数方程问题等形成综合性问题。因此，不等式成为了数学竞赛中的重要考点，值得学者深入探究。

第二章 一道竞赛不等式试题的证明

近年来，不等式的证明在竞赛数学的所占比重不断提高，已经成为不等式考题中的重要组成部分。不等式证明需要学生熟练掌握证明不等式的基本思路和方法，又由于不等式证明考察点往往和其他知识点相结合，综合性强，灵活性高，因此，这需要学生有较强的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。同时，不等式的证明涵盖了多种数学思想。数学思想是数学知识的灵魂，要学好数学，必须先了解数学思想，而不等式则是诸多数学思想的有力载体。不等式的证明运用到了数学归纳法、放缩法等证明方法，这对培养高中生严谨的数学素养有着重要的作用。因此近几年来，在“希望杯”、“奥林匹克竞赛”等竞赛试题中不等式的证明问题频频出现，成了热点中的一个难点问题。

下面将从1997年“希望杯”全国数学邀请赛中的一道较之简单的不等式证明题出发，结合这道题目来总结证明不等式的分析策略和证明的基本方法。

【1997年“希望杯”全国数学邀请赛】设 ,且 ,求证

 。

2。1柯西不等式[ ]设 ， ，则有

 ,

当且仅当 ,或 , , 中有一个为零时“ ”成立。

特别地，其二维形式为

 ,

当且仅当 时“ ”成立。

证明。 由柯西不等式得从而可得当且仅当 时取得“ ”成立。

2。2均值不等式[ ]来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

定理。  个正数的调和平均数不会超过几何平均数，几何平均数不会超过算术平均数，算术平均数不会超过平方平均数，即

 。

简记为（当且仅当 时，等号成立）。

注：当利用均值不等式进行证明时，要紧扣 “一正二定三相等”这三个条件，要同时满足，才可以使用。

2。2。1 证明。 由均值不等式中的 （算术平均数 平方平均数）可得，

故可证得 ,

当且仅当 时“ ”成立。

2。2。2 从均值不等式中的 （几何平均数 算术平均数）出发，

特别地，若 , ,则

 ,

这就是基本不等式，当且仅当 时“ ”成立。证明1。两边开方，又因为 ,故可证得 ,

当且仅当 时“ ”成立。证明2。

由上述三个式子左右分别相加，整理可得 。

此时，当 , , 时，即 时“ ”成立。2。3构造法

在证明不等式的方法中，构造法是经常使用的一种。它很好地考察了学生的创造思维和发散思维，很好地体现了发现、类比的数学思想，也渗透着探索、归纳、特殊化等数学方法。在数学解题中，对题设条件和结论进行分析，联想所有有关知识和方法，通过恰当地构造辅助元素，可以将问题化难为易、化繁为简。在构造法中所构造的辅助元素可以是函数、方程（组），也可以是图形、向量等等。下面将简单介绍两种构造法来证明此题。