(c)  ,

则依概率1有

 。

(6)随机积分不等式[30]  设 满足

 ,

其中 ,则

 。

其中 表示所有可测的, 适应的,并对满足所有的 , 的随机过程 所构成的空间。

(7)鞅、局部鞅、二次变分[24]  一个 值 适应的可积的随机过程 满足

 。

则该随机过程称为关于 的鞅。

     如果 是一个实值平方可积连续鞅,则存在一个唯一的连续可积的适应增过程,记为 ,使得 是一个在 时等于零的连续鞅。 过程 称为 的二次变分。

     一个右连续的适应过程 称为局部鞅,如果存在一个非减的停时序列 ,满足 ,使得每个 是鞅。

     若 是连续的实值局部鞅,则存在唯一的一个连续适应的有界变差过程 ,使得 是在 时为零的连续局部鞅,过程 称为 的二次变分。

(8)Brown运动[24]  设 是带有滤子 的概率空间。 若一维实值连续 适应的随机过程 满足下列条件:

(i)  ,

(ii) 对任意的 服从均值为零,方差为 的正态分布,也就是 ,

(iii) 对任意的 与 独立,

则 称为Brown运动或Wiener过程。

3 解的存在性与唯一性

由于 和 都表示毒物的浓度,所以需要满足条件 , 。实际上,我们有如下引理:

引理1  对模型(2),如果 ,则 , , 。

下面总是假设条件 成立。 现在考虑模型(2)的子系统:

       (3)

系统(3)也是一个种群模型, 我们首先必须给出一些条件为保证模型(3)有唯一的全局正解。 实际上,我们有如下定理:

定理 1  对于模型(3),如果 ,则对任意给定的初值 ,模型(3)有定义在 上的唯一全局解 ,并且此解以概率1不离开 。

证明 由于模型(3)的系数满足局部Lipschitz条件,故对任意给定的初始条件 ,模型(3)存在定义在 上的唯一的局部饱和解 ,其中 表示爆炸时刻[31] 。为证明此解是全局的,仅需证明 。 为此,令 充分大,使得所有 的分量都在区间 内。 对每个整数 ,定义停时文献综述

 。

我们约定 。 显然, 关于 是单调增加的。 令 ,其中 。现只需证明 。若此结论不真,则存在 和 ,使得

 。

于是存在整数 满足

                       。                    (4)

定义如下的 函数 :

 。

此函数的非负性可由下式看出

   。

根据Itô公式可得:

         

         

           

         ,              (5)

其中

   

      。

显然,存在常数 ,使得 。 将此不等式代入(5)中可得

 。

因此可得

 。

两端取均值可得

              。            (6)

令 ,则根据不等式(4),我们得到

 。

注意到对 ,存在一个 使得 或者等于 或者等于 ,因此 不会小于

 。

再由(6)可得

 ,

其中 是 的指标函数。 令 得出矛盾

 。

证毕。

4 解的有界性

   在上一章中,我们已经证明了模型(3)具有唯一的全局正解,接下来我们证明该解是随机有界的。

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