定义3[1]   始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，叫做自由向量。自由向量以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来的向量。

定义4[1]  平行于同一直线的一组向量叫做共线向量。 零向量与任何共线的向量组共线。

定义5[1]    实数 与向量 的乘积是一个向量，记做 ，它的模是 ； 的方向，当 时与 相同，当 时与 相反。

定义6[1]  两向量 ，  的模和它们的夹角的余弦的乘积叫做 、 的数量积（也称内积、点积），记做 或 ,即  。

定义7[1]  两向量 、 的向量积（也称外积、叉积）是一个向量 或 ，它的向量积与 和 都垂直，它的模是 。

定义8[1]  与平面垂直的非零向量 叫做平面的法向量。

以下是向量的一些相关性质：

性质1[1]  如果向量 不共线，那么向量 与 共线的充要条件是 可以用向量 线性表示，或者说向量 是 的线性组合，即 ，并且系数 被 ，  惟一确定。

性质2[1]  如果向量 ， 不共线，那么向量 与 ， 共线的充要条件是 可以用向量 ， 线性表示，或者说向量 可以分解成 ， 的线性组合，即 ，并且系数 ， 被 ， ，  惟一确定。

性质3[1]  如果向量 ， ， 不共面，那么空间任意向量 与 ， ， 共面线性表示，或者说空间任意向量 可以分解成 ， ， 的线性组合，即 ，并且系数 ， ， 被 ， ， ， 惟一确定。

性质4[1]  向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标。

性质5[1]  若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线与平面 的夹角的正弦为 。

性质6[1]  两向量 与 相互垂直的充要条件是 。

性质7[1]  两向量 与 共线的充要条件是 。

3  向量在几何证题中的运用

    文中我们主要讨论向量在平面几何和立体几何证题中的运用，对于运用向量证明几何问题，我们一般分以下几个步骤进行：

一、分析问题中的条件和结论。

认真审题和分析问题中出现的条件和所要求证明的结论后，并且利用向量的方式表示出各个描述问题中条件和结论的向量关系式，把问题的几何结构系统的代数化、数量化，便于几何问题中的向量关系式进行代数化、程序化运算。

    二、设置媒介向量表示关系式。

    利用向量表示条件和结论的向量的关系式后，往往会有出现缺乏一些必要的基底，例如单位向量，所以就需要在几何结构中选择一些已知向量，作为证明或求解问题的媒介向量，再次利用向量的方式表示出所选择的向量与条件和结论的关系式。

三、化简或者证明向量关系式。

通过媒介向量表示几何问题中的条件和结论后，确立已知量和未知量的关系，利用条件的向量关系式、几何结构的性质、向量的相关性质及代数化运算，推导出有关结论的向量关系式[ ]。

化简或者证明向量关系式的过程中，要明确牢记有关于几何图形的定理和性质，向量的相关性质、定理和表示，代数化运算过程中的数值处理方式等相关知识内容。 可通过所得结论对该几何问题进行逐步检验。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

3。1  向量在平面几何证题中的运用

3。1。1  两条直线垂直

例1 向量法证明菱形的对角线互相垂直。

分析 运用向量方法证明两条直线垂直，由于菱形的性质，将相邻两边设置为媒介向量再利用媒介向量写出菱形的两条对角线的向量关系式，将其结合向量垂直的结论，即可证明问题结论。