原题等价于：

   ， 当且仅当   时取等号。

当 时易得证；

假设当 时命题成立，即

   ，当且仅当  时取等号。

那么当n=k+1时，不妨设  是  、   。。。。。。   中最大者，

则 

设   ，则有

根据引理

当且仅当   且   时，

即   时取等号。

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里只简要介绍数学归纳法的证明方法。

三、均值不等式的应用

均值不等式是重要的数学公式，它在求最值、比较量的大小、证明不等式等方面有着举足轻重的作用，巧妙利用均值不等式往往可以获得比较理想的解题方法。

1、均值不等式在最值问题中的应用

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是数学竞赛常考的一个重要知识点。用均值不等式求最值的常见的技巧主要有添、减项（配常数项），配系数（乘、除项）、裂项、取倒数、平方、换元（整体思想）、逆用条件、巧组合、消元等，下面通过几个例题谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

例1 （2005年全国高中联赛江苏赛区初赛） 设 ，那么a2+ 的最小值是_____

分析  本题取自人教版，第二册（上）的一个习题，题中有两个变量a和b，解题时总希望字母越少越好，故最好把原式的两个变量处理成一个变量的问题，再证明它大于或等于一个常数。在这中间我们又注意到 与 之和为 ，因式 

解     

 ，

因此 的最小值是4．

当  时取得最小值．

评析  此题考查的是求几个正数和的最小值，利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于通过恒等变形凑成积为常数。通常要通过添加常数、拆项等方式进行变形。

变式  设a>b>0，求a2+ 的最小值。

例2（2003年中国国家集训队测试题） 设正实数ｘ，y，z满足 ，求 的最小值．

解  因为 ,且 ，所以 

又由于平均不等式有

当且仅当 时等号成立．得 

故原式最小值为 ．

推广  （一般形式）设 , 

则  其中 由此可解决下面的问题

若 , ，求 的最小值

评析  此题考查的是条件最值问题。此类问题是学生求解易错的一类题目。　文献综述　　　　　　                   

例3（第41届IMO） 设 是正实数，且满足 ，证明

 ．

分析  不等式左边三个括号所代表的数有可能为负数（或零），因此不能直接用平均不等式，但仔细 观察、计算发现三个括号最多只能有一个不是正数，因此应先讨论，再做题。此外，即使全正，用三个正数的算术平均，推导也难以进行。故应用两个正数的算术平均不小于相应的几何平均来做。

解法一（分类讨论）

1）假设 ， ， 三个式的值如果一个不为正（即为零或负），另两个为非负，不等式显然成立．

2）假设以上三个式的值最多有一个不为正数

证明  假设有两个不正，不妨设

 （相加） 

这不可能，故三个式子的值最少两个为正．