摘　要：微分中值定理是微分学的重要定理，是沟通函数与导数的桥梁．它主要包括罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式这几个基本定理．本文主要探讨了微分中值定理及其推广的多种形式，并讨论了定理在证明等式，不等式以及证明方程根的存在性等多方面的应用．　75356

毕业论文关键词：微分中值定理，联系，推广，应用

Abstract: Differential mean value theorem is an important theorem of differential calculus, it is the bridge between function and derivative。 It mostly consists of Roll intermediate value theorem, Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem and Taylor formula。 The various forms of the theorem’s extension, and many other applications of the differential mean value theorem, such as proving equality and inequality, proving the existence of uniqueness, are discussed in this paper。 

Keywords: differential mean value theorem, connection, extension, application

目  录

1引言4

2微分中值定理4

2。1定理及其证明4

2。2定理的内在联系和几何意义6

3定理的推广6

4定理的应用7

4。1证明定理8

4。2研究函数的性质8

4。3证明不等式10

4。4证明等式11

4。5求极限12

4。6求近似值13

4。7证明方程根的存在13

结论15

参考文献16

致谢17

1  引言

　　人们对微分中值定理的研究，从微分学建立之后就开始了．1637年，法国数学家费马发现了费马定理，成为微分中值定理的第一个定理．在这个基础上，很多数学家对微分中值定理有了进一步的研究．

　　微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，是联结函数值与导函数值之间关系的一座桥梁．它的主要作用在于理论分析和证明，函数的许多性质，如单调性、一致连续性、取极值等，都可以借助微分中值定理来研究．微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式．本文探讨了微分中值定理的性质及其推广形式，并讨论了微分中值定理在解题中的一些应用．

2  微分中值定理

2．1  定理及证明［1］

　　定理1（费马定理）　设函数  在点 的某邻域上有定义，且在点 可导，若点 为 的极值点，则必有  ．

　　定理2（罗尔中值定理）　若函数 满足如下条件： 在闭区间 上连续， 在开区间 内可导，   ，则在 内至少存在一点 ，使得 ．

　　证明　由于 在 上连续，所以有最大值 与最小值 ． 

　　下面分 和 两种情况讨论．文献综述

1）若 ，则 在 上必为常数，则 为 中任一数，从而结论显然成立．

2）若 ，由 ，故 与 至少有一个在 内某点 处取得，从而 是  的极值点，由 在开区间 内可导，故 在点 处可导，由费马定理知  ．

注　定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立．

定理3（拉格朗日中值定理 ）　若函数 满足如下条件： 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得  ． 

　　定理4（柯西中值定理）　设函数 和 满足：在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 和 不同时为零， ，则存在 ，使得                                               ． 

　　拉格朗日定理和柯西定理的证明思想一样，现以柯西定理为例，给出证明过程．