摘 要：矩阵的若尔当标准形理论是矩阵的重要理论之一， 任何一个复数矩阵都与若尔当标准形相似。本文介绍了矩阵的若尔当标准形的概念和求矩阵的若尔当标准形的方法，然后给出其在矩阵对角化、秩以及一些定理的证明等问题的应用。  75358

毕业论文关键词：若尔当标准形，最小多项式，初等因子， 矩阵

Abstract：The Jordan canonical matrix form theory is an important theory of matrix,Any of a complex matrix and the Jordan canonical form similar,This paper introduces the concept of the Jordan canonical form of matrix and the way to The Jordan canonical form of matrix。Then it gives the application of the proof of the matrix on the matrix, rank, and some theorems。

Keywords： Jordan canonical form, minimal polynomial, elementary factor matrix, -matrix

目  录

1  引言4

2  若尔当标准形的基础知识5

3  若尔当标准形的求解方法7

4  若尔当标准形在解题中的应用10

4。1  在定理证明中的应用8

4。2  在矩阵对角化问题的应用9

4。3  在矩阵可逆问题的应用10

5  结论11

6  参考文献12

1  引言

若尔当标准形在整个高等代数以及线性代数中都有着非常重要的作用，学习若尔当标准形的内容不仅仅可以帮助我们更加全面的了解代数方面的知识，还能在一些计算中为我们简化计算，并且在一些矩阵的相似问题以及对角化的问题上给我们提供很大的方便，在本文还介绍了若尔当标准形在一些代数中重要定理的证明中的作用。本文先对有关于若尔当标准形的一些知识点做梳理，对一些重要的定理进行归纳并且给出证明。然后通过介绍初等因子以及初等因子的求解方法来得到求一个矩阵的若尔当标准形的常用方法，并且给出相应例题，最后通过翻阅大量资料，搜集一些通过若尔当标准形能够简化计算的题型进行归纳总结，论文网

2  若尔当标准形的基础知识

定义1    -矩阵的定义：设P是一个数域， 是一个文字，作多项式环 。一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即 的元素，就称为 -矩阵。

定义2   不变因子：标准形的主对角线上非零元素 称为 的不变因子。

定义3    初等因子定义：把矩阵 （或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 （或者线性变换 ）的初等因子。

定义4   若尔当块定义：设 为一个复数，矩阵

 ,

其中主对角线上的元素都是 ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 的一个若尔当块，例如 

 , 

定义5   最小多项式的定义：设 ，在数域P上的以 为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为 的最小多项式。

     定理1   每个 级的复数矩阵 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的，它称为 的若尔当标准形。

定理2   任意一个非零的 的 -矩阵 都等价于下列形式的矩阵且     ,文献综述

证明  经过行列调动之后，可以使得 的左上角元素 ，如果 不能除尽 的全部元素，由引理，可以找到与 等价的 ，它的左上角元素 ，并且次数比 低，如果 还不能除尽 的全部元素，由引理，又可以找到与 等价的 ，它的左上角元素 ，并且次数比 低。如此下去，将得到一系列彼此等价的 它们的左上角元素皆不为零，而且次数越来越低。但次数是非负整数，不可能无止境地降低。因此在有限步以后，我们将终止于一个 ，它的左上角元素 ，而且可以除尽 的全部元素 ，即 ，对 作初等变换