摘要 ： 本文主要是对一类具有双线性发生率的SIRS传染病模型的稳定性进行研究。证明了该模型当基本再生数小于1时，无病平衡点是渐近稳定的，此时疾病消亡；当基本再生 数大于1时，地方病平衡点是渐近稳定的，此时疾病爆发。75423

毕业论文关 键 词 ： 传染病模型，基本再生数，无病平衡点，地方病平衡点，稳定性

Abstract:Inthispaper, we investigate the stability of SIRS epidemic model with the bilinear incidence rate。 It is shown that if the basic reproduction number is less than 1, the disease-free equilibrium is asymptotic stable and the disease will die。 If the basic reproduction number is greater than 1, the endemic equilibrium is asymptotically stable and the disease will outbreaks。

Keywords：epidemic model， basic reproduction number，disease-free equilibrium，endemic equilibrium，stability

目 录

1 引 言 4

2 预备知识 4

3 主要结果 6

结论 11

参考文献 12

1 引言

传染病（Infectious Diseases）是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或 人与动物之间相互传播的一类疾病。病原体中大部分是微生物，小部分为寄生虫，寄生虫 引起者又称寄生虫病。传染病的特点是有病原体、有传染性和流行性，感染后常有免疫性。 有些传染病还有季节性或地方性[1] 。

在我国，自建国以来就加大了对公共卫生的投入，截止目前建立了5万多个监测报告 点的疫情信息网络直报系统，为应对重大公共卫生突发事件、预防传染病、保障人民群 众健康提供了重要基础性保障[2] 。 但是，对传染病的防控形势依然很严峻。 2015年，全 国共报告法定传染病6956385例，因病死亡16500人。2016年1月全国共报告法定传染病 485086例，因病死亡1224人[2] 。

因此，对传染病发病机理、传染规律和防治策略研究的重要性日益突出，已成为当 今世界需要迫切解决的一个重大问题。 通过在数学知识的基础上建立传染病模型，来研 究传染病的传播过程和预测传染病发展趋势，是传染病研究的一个重要方法，也是数学 知识得到合理应用的一个重要领域[3,4]。论文网

早在 1927 年，Kermack 与 Mckendrick 为了研究 1665-1666 年黑死病在伦敦的流行 规律以及 1906 年瘟疫在孟买的流行规律, 构造了经典的 SIR 仓室常微分方程(ODE)模型

（为简单起见，称之为仓室确定性模型）[5] 。 Kermack 与 Mckendrick 的工作奠定了传染 病动力学研究的基础。

易感者-染病者-移出者(SIR) 型的仓室传染病模型在传染病动力学模型的理论研究

中得到了广泛研究。 设S(t)、I(t)、R(t)分别为 t 时刻易感者、感染者和移出者的数量，本 文考虑下述具有双线性接触率的SIRS传染病模型：

其中 S 表示易感者的密度， I 表示感染者的密度， R 表示康复者的密度， 表示出生和死 亡率， 为康复者丧失免疫进入易感者类的比率，为感染者的自然恢复率， SI 为双线 性发生率， 为接触率。模型（1。1）中所有参数均为正的。

2 预备知识

2。1 常微分方程稳定性基本概念及定理

定义 2。1 [6] 对于二维自治系统

若点x0 , y0 使 P x0 , y0 0, Q x0 , y0 0 ，则称x0 , y0 为系统(2。1)的平衡点，或者称为 奇点。