,

在右下角的  中,全部元素都是可以被 除尽的,因为它们都是 中元素的组合。如果 ,则对于 可以重复上述过程,进而把矩阵化成     

  ,

其中 与 都是首项系数为1的多项式 ,而且 能除尽 的全部元素。

如此下去, 最后就化成了所要求的形式。最后化成的这个矩阵为 的标准形。

3  矩阵的若尔当标准形

    首先先说明一下初等因子该如何求解

用 为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 的全部初等因子。

下面给出这种方法的理论证明

 证明  设 已用初等变换化为对角形来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

其中每个 的最高项系数都为1,将 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积:

 =  ,

我们现在要证明的是,对于每个相同的一次因式的方幂 , 在 的主对角线上按递升幂次排列后,得到的新对角矩阵 与 等价。此时 就是 的标准形而且所有不为1的 就是 的全部初等因子。为了方便起见,先对 的方幂进行讨论。令 , ,于是 ,  而且每个 都与 互素。如果有相邻的一对指数 ,则在 中将 与 对调位置,而其余因式保持不动。根据引理,

 与 ,等价。从而与对角矩阵 

等价。然后对 作如上讨论。如此继续进行,直到对角矩阵主对角线上元素所含 的方幂是按递升幂次排列为止。依次对 作同样处理,最后便得到与 等价的对角矩阵 ,它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,都是按递升幂次排列的。

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