但是，方程（2-1）是非线性微分方程，它一般是不能解析求解的，只能在

小摆角情况下求得近似值，通常认为，“小摆角”是指最大摆角不超过 5 。在此

情况下， sin，于是方程（2-1）被线性化，成为标准的谐振方程

''(t) 2(t) 0

其中，   是单摆振动的角频率（又叫圆频率）。由此解出的单摆运动方

程为如果选定了初始条件即 t 0 时单摆的角度和角速度，则可以定出振幅m 和初相 角，摆角(t) 就完全确定了。然后还可以求得速度和（切向）加速度

在此基础上，如果还想求摆线对摆球的拉力 T ，也是很容易的，因为切向运 动是圆周运动，其法线方向的分力满足向心力公式

如果还想求单摆的运动周期 tc ，则根据圆频率与周期的关系立即得到

这样，前面对单摆提出的问题完全解决。如果嫌公式不够直观，可以将以上 求得的各物理量作图，观看它们的变化以及相位关系，等等[5]。

但是，以上这些讨论都是在小角度下的近似结果，如果是任意角度的摆动， 则无法给出解析解，只能求数值解，即求出曲线上某些点的值。

第三章 单摆方程的数值解

下面研究如何对方程（2-1）进行数值求解。对于 Mathematica，求解这个问 题是容易的，因为它有一个函数 NDSolve[ ] 是专门求微分方程数值解的，像方 程（2-1）那样的常微分方程是能够方便地求解的。这个函数的使用格式是来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

NDSolve [ {微分方程和初始条件}，待求函数名，{t,t1,t2}]

该函数的用法详述如下。

NDSolve 之后是一对中括号“[ ]”，里面有三项，第一项用花括号“{}”将 微分方程和初始条件括起来，具体写法是：

微分方程内的等号，必须为双等号“==”，中间不能有空格； 初始条件也必须用双等号连接； 各个双等号连接的项需要用逗号分隔。

中括号内的第二项是需要求解的未知函数的名字，这通常是编程者自己定义的， 与微分方程里的未知函数名一致。第三项是要解算的时间范围{t,t1,t2} ，这里的 t 是自变量，t1 和 t2 规定了求解的时间范围。数值解不能像公式那样任何时间都成

立，它只能在规定的解算范围内成立，换句话说，我们解到哪里，就对系统了解

到哪里，在此范围之外，我们就什么也不知道了。 数值求解微分方程需要给出待求函数的初始条件，本次计算中，规定单摆的

初始条件是

初始角位置：(0) 0

初始速度：' (0) 0

这两个条件的含义是：将摆球拉开一个角度0 ，然后放开，令单摆自由摆动。 以下程序就来完成第一个计算。

In[1]:= g=9。8;L=1; =√