3。3。2 数列的单调性、收敛性的证明 18

3。4 利用不动点定理求解数列极限 20

3。5 定积分方程利用不动点求解 22

3。6 不动点在常微分方程中的应用 23

3。7 本章小结 24

第四章 致谢 25

参考文献 26

第一章绪论

1。1导论

不动点理论的研究年份要追溯到20世纪初，荷兰数学家布劳维尔在1909年创立了布劳威尔不动点理论[1]。以此为基础，不动点理论得到了更高一层的提升，并且产生了使用迭代法求不动点相关理论的方法。著名的数学家莱布尼茨在十九世纪二十年代的时候，提出了更为精通的不动点理论[2]。十九世纪二十年代末，丹麦数学家在不动点个数问题方面做了相关的研究，通过研究并提出了尼尔森数的概念[3]。在中国，经过我国多名知名数学家的努力推进，经过不懈的努力他们得到了的逆定理[4]。论文网

不动点理论是从拓扑变换理论中生成的，其中存在着抽象数学理论这门分析学的重点知识。这个是上世纪的另所有学者都关注的一个数学分支，那时候学者们将空间到自身映射的不动点仅仅理解为微分方程的解。这段期间内，作为当时最流行的课题，借由不动点定理产生了一系列的新的数学研究结论。上个世纪中期提出了定理，这一定理中创建了一种新的不动点定理—全连续算子，随后大量的专家和数学家将其进行了更大范围的拓广，部分条件变得宽松，并且也皆提出了相应的定理。为此，不动点的理论获得更大的进步，并且从这之后变得更加的多元化，运用层面更加的广阔。

不动点理论一直都是历久弥新的学术点，一直得到学者数学家们的广泛关注，但是在近些年甚至是今天它依然在急速的发展。它在泛函微分系统中是重要的，同样在经济方面也是一种极为倚重的解决问题的方法。不动点理论在非线性分析中经常用来解决一些重要的问题，这些问题在利用不动点理论之后变得更加的快速高效，节省了学者们宝贵的时间和研究资源。在泛函微分系统的周期解中，不动点理论更是其证明唯一和存在性质的有力武器。

1。1。1 选题背景

不动点定理在函数方程、动力系统理论和微分方程等理论和数学方法中都有着甚为广泛的应用。在中学的教材中，函数的不动点理论虽然不是一个必修的内容，但是有一些数学问题却因为不动点理论的存在有意无意中就得到了解释和解决。比如数列的单调性和收敛性、已知递推公式求它的数列通项、数列的有界性等问题，这些问题在高考中不只是重点更是热点的题型，对已知递推关系但又不易求通项公式的数列综合问题，灵活又充分的利用函数的相关性质就是解决这一类问题的关键和入手点。因为这种因素，不动点理论也就很容易被理解为什么会成为各类数学知识竞赛和选择性考试的必选的内容之一。在最近几届的高考中，对不动点定理的应用的考察越来越多的出现，高中数学竞赛、高考、高中数学中的问题，详细的情况比如把函数、方程、不等式和数列甚至解析几何等方面的知识点灵活的综合起来，并且以不动点理论作为根据去求解，在这些方面，不动点理论体现出灵活有效的解决方式。

1。1。2 选题意义

不动点理论是一个历久弥新的领域，它即古老又富有创新性的活力，在近现代的发展中，不动点的研究进度极度的快速，经常都会出现新的关于不动点理论的研究结果和结论，并且对于不动点理论的完善程度愈发提高。相关不懂点理论的知识很多都是大学课程的教学内容，不动点理论是泛函分析的最要紧的原理之一，不动点的相关理论大多都依据于巴拿赫（）定理[5]，在现在的数学方向上被大规模的应用。换一种说法来说明不动点理论的作用，那就是如果出现一个你无法解决的问题，你可以通过一个能与问题相关联的辅助问题的解决而解决当前问题，不动点理论就是这样一个理论。它是其中一种可以用来尝试的并且有效的方法。在解决数学问题中存在这样的实例，比如在高中数学中，存在一些已知递推关系但是数列的通项却很难求解的问题，想要解决此类问题，要灵活的运用函数的相关性质，而对应着递推关系的函数的不动点则决定了整个数列的增减，因此对不动点的问题的研究中，我们所得出的结论可以使得数列的有界性、单调性、收敛性以及通过简便算法求解数列的通项等问题都有着一定的理论意义。