摘  要：本文利用两种不同的欧拉差分方程方法对两类带有离散时滞的SI和SIR模型在平衡点处的稳定性进行了分析。第一步，对基本再生数进行定义求解；第二步，通过构造Lyapunov函数确定当时,模型在无病平衡点是稳定的；当时在地方病平衡点是稳定的；最后,我们运用MATLAB软件数值模拟进行了验证。82504

毕业论文关键词：传染病模型；离散；时滞；稳定性

Stability Analysis of Some Discrete SI and SIR Epidemic Models with Time Delay

Abstract: This paper studies the stability of some discrete SI and SIR epidemic model with time delay, which using different Euler method。 Firstly, the basic reproduction numbers  are defined。 Then, it proves that the disease-free equilibrium  is globally

asymptotically stable when ; the local equilibrium is globally asymptotically stable when 。 Finally, it is verified by the MATLAB numerical simulation。

Keywords: Epidemic model; Discrete; Delay; Stability

目    录

摘　要 1

引言 。2

1。 带有离散时滞的SI传染病模型的稳定性分析 3

　1。1模型描述 3

  1。2 SI传染病模型的基本性质 。4

1。3 平衡点的稳定性分析 6

2。 带有离散时滞的SIR传染病模型的稳定性分析 8

　2。1模型描述 8

  2。2 SIR传染病模型的基本性质 。10

 2。3 平衡点的稳定性分析 。13

3。 数值模拟 。16

　3。1 SI传染病模型的数值模拟 。 。16

  3。2 SIR传染病模型的数值模拟 。17

4。 结束语 19

参考文献 20

附录。21

致谢。23

两类带有离散时滞的SI和SIR传染病模型的稳定性分析

引言 

人类健康一直在受传染病的威胁。 Antonine瘟疫在罗马爆发时，致使经济衰退和大量的人口死亡，致使罗马的崩溃[1]。淋巴腺鼠疫曾在欧洲大规模爆发了4次，都造成了大量的人口死亡[2]。近年来出现了许多新型传染病，如我国2003年爆发SARS传染病病毒和2013年爆发H7N9禽流感传染病病毒等，让人类更加害怕传染病。论文网

近几年的研究更加接近实际，所以建立的模型也更加复杂了。现对传染病SI 和SIR的连续模型研究也已十分成熟。但由于很多数据是依据天，周，月，年收集来的，且离散模型相比连续模型能更好的展现动力学形态[3,4]。很多学者关注了离散传染病模型。如文献[5]中讲述了离散的传染病模型；文献[6]中详细讲述了离散的传染病模型；文献[7]中讨论了离散的SI传染病模型；文献[8]中讲述的是一类离散SI传染病模型的稳定性；文献[9]中使用向后的欧拉差分方法对带时滞的连续SIR模型[10]离散化得到带时滞的离散SIR模型。很多学者还对许多带时滞的各类传染病模型进行分析研究，在这方面也取得了很大的成功。时滞是研究传染病模型常考虑的因素，在不一样的传染病模型中时滞的意义也不一样，传染病存在的潜伏期、患者对传染病具有的感染期、恢复者对传染病具有的免疫期，这些时期均可作为时滞因素成为我们研究模型的条件。

本文分为三部分，前两部分讲述了两类带离散时滞的SI和SIR模型存在平衡点以及对其在平衡点处的稳定性进行了分析，第三部分是利用MATLAB软件模拟这两类传染病模型在平衡点处的稳定性，最后是论文的结束语。

1。 带有离散时滞的SI传染病模型的稳定性分析

1。1 模型描述

在这部分中我们认为染病者恢复后对疾病仍有一段时间的免疫，过了这期间又进入易感人群，这一期间就可以看成是导致时滞发生的要素。文献[11]中涉及以下的带时滞的SI模型：