1。预备知识

定义1。1  设是群的一个子群。如果对中每个元素都有

  即  则称为群的一个正规子群，记为。

    称与为的平凡正规子群。论文网

群只有平凡正规子群时，为单群。

定义1。2  实数域上全体行列式等于1的阶矩阵组成的集合为。

实数域上全体阶可逆方阵的集合为。

定义1。3 设为群两个元素，若使（或）。称与共轭。或为的共轭元素。

设，若，使（或）。称与共轭。或是的共轭子群。

定义1。4  与的换位子是，

与可交换的充要条件是它们的换位子是单位元：，

只有那些不可交换的元素换位子才不等于单位元。由中所有换位子生成的子群

称为换位子群，也可定义为中所有换位子的有限乘积所成的集合。

    定义1。5 若存在集合到集合上的一一对应（双射），则与称为等势（或对等）。 

引理1。1  设是群的两个子群，则。

证明  设，则由是的一个非空子集，则且。知。但因都是子群，故。于是又有

。因此，。设,则有。所以有。引理1。2  群的中心元素作成的集合是的一个子群，称群中心。

证明  因为，故非空。又设，则称中任意有。由此二等式立即可得

。

故，从而。

引理1。3  是群，皆为的正规子群，则是的正规子群。

证明  首先证对，有，实际上左端的任一元为，，由，知，，故，即有由的任意性，用替代，并用替代则有

，

再用左乘两端，及用右乘两端就得到，即有；由是的正规子群，，就得

这就证明了是正规子群。

引理1。4  设为群，是的子群，定义的正规化子为

是的子群。

证明  对任意的，有，则

从而，所以是的子群。

引理1。5  设是群的两个有限子群，则。

引理1。6（定理）  设是有限群，是的子群，则

,  即。

所以群的阶的因数是任意子群的阶和指数。

证明  令，且

是关于的左陪集分解，由于易知

是左陪集到的一个双射，从而。于是有

。

因此由式知，，即

。

2。正规子群的判定

定理2。1 设为群，则下列各条件等价

 ，使得（即每个左陪集都是右陪集）

 ，使得（即每个右陪集都是左陪集）

证明   因,，有，于是

 ，因。而,故有。 ,有，又，于是，即。

 取，则有。文献综述

 ，因，使得，则，于是，所以，从而，即。

与的等价性和与的等价性具有相同的证明。

定理2。2  若，且，则是的子群，则。

定理2。3  设为一个群，又。证明：的子群都是的正规子群。

证明 设，则由于循环群是由循环群的子群构成，故可设。

任取则。但因，故。令。则由得，从而。

定理2。4设是的子群则对任何，有，即，有。

证明  必要性  ，有。

充分性  因为，

再有定理2。1可得，所以原命题成立。

定理2。5  1）；。

证明  设，任取  。

由于，故，从而。

同理可得。因此,从而由引理1。1知。

设。则由上知，。

又对任意，有，故。定理2。6  群的中心是的正规子群。

证明  由引理1。2可知，为的子群，对任意的，