所以是的正规子群。

定理2。7  设为群，是的子群。，子集和之积还是一个左陪集。（或任意两个右陪集的积仍然是右陪集）

证明  必要性  如果是的正规子群，则对任意的，有。

充分性  如果对任意的，子集和之积也是一个左陪集，则

对是的一个左陪集。由于，因此，于是，来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

所以是的正规子群。

定理2。8  设为群，是的子群。则

如果，则。

证明  必要性  设是的正规子群，则，如果，则

充分性 对任意的，如果，则对任意的，由于，因此，

所以是的正规子群。

定理2。9  设为群，是的子群。则充要条件是对的任一自同构，。

证明  必要性  设是的正规子群，为的一个内自同构，则存在，使对，有。从而，对，有，因此

充分性  设对的任一内自同构，有，则对任意的，存在的内自同构，使。从而对，有