1．预备知识

我在有关于复积分的一些参考文献中，找到了几个与本文有关的定义与定理，如下

定义1。1设有向曲线；，()以为起点，以为终点，是一常数， 沿有定义，顺着从到的方向在上取分点；把曲线分成若干个弧段，在从到的每一弧段上任取一点作成和数。其中当分点无限增多，但这些弧段长度最大值趋于零时，假设和数的极限存在且等于，则称沿（从到）可积，而称为沿（从到）的积分，并以记号表示；。称为积分路径，表示沿正方向的积分，表示沿负方向的积分。

定义1。2假设函数在点及的某个邻域内处处可导，那么称在点解析，如果在区域内解析就称是内的一个解析函数。                   

定义1。3设函数在以为边界的区域内除外解析，且连续到，则。

定义1。4若在单连通区域内处处解析，，为内两点，为的一个原函数，则。即在内的积分与路径无关。

定理1。1设在复平面上的单连通区域内解析，为内任一条围线，则。若设函数在以围线为边界的闭域上解析，则。

定理1。2若函数沿简单逐段光滑曲线（不必闭合）连续，则有柯西型积分，所定义的函数，在平面上外任一区域内解析，且，。

2．复积分的求解技巧

2。1利用复积分的定义来求解

例1计算积分，积分路径是连接点，的任一一条曲线。

解 当为闭区间时，因为，，

所以。

例2计算积分，积分路径是连接点，的任一一条曲线。

解 当为闭曲线时，。，设，则。

又可设，则，积分存在，因此的极限存在，并且应与和极限相等。所以。

所以。

根据以上的两个例子我们可以看出我们就能运用定义法来计算当可以分为小段时的复积分，然而这种方法并不推荐使用。

2。2柯西积分定理求复积分

例3计算积分。

解 由于在所围区域上解析，则。

例4计算的值，为包含圆周的任一正向闭曲线。

解 ，分别以，为圆心做两个完全包含于且互不相交的圆，，则有

接下来我们将运用柯西积分公式求解。

定理2。1：设是正向闭区间，若在包含的某个单连通区域内解析，是内的一点，则

设在简单或复合闭曲线上以及所围区域内解析，则对任意，有

例5计算积分，其中：，方向取正方向。

解 。

例6计算，其中，在周线内，在内以及上解析。

解 以，为圆心，适当小的半径做圆与，使与在内且相互隔离，则在由，，围成的区域内，由柯西积分定理有：

根据以上的例子，我们能够比较出柯西积分定理跟公式的区别，很明显的，我们能看出柯西积分公式更加简便。

2。3利用曲线的参数方程求解

设有光滑曲线： ，在上连续且，又设沿连续，则。其中对应的起点，对应的终点。具体步骤：

第一步：写出的参数方程，  ；

第二步：将代入与中，得到=，=；

第三步：由计算右端关于参数的积分。

（1）若曲线为直线段，先求的参数方程，为过，两点的直线段，：，，为始点，为终点。

例7计算积分，路径为直线。

解 设，，则。

（2）若曲线为圆周一部分，设，即，，（曲线正方向为逆时针）。

例8计算积分，为从到1的下半单位圆周。

解 设，，

接下来我们能够利用格林公式法来计算。

例9 设为简单闭曲线，是所围区域面积，求证： 。