积分因子法在一阶常微分方程求解问题中的应用(2)
常微分方程的发展历史及课题分析
常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪. 作为数学的一个分支，它是伴随着微积分发展起来的，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法.
17世纪末期, 摆的运动, 弹性理论及天体力学等实际问题的研究引出了一系列的常微分方程. 1690年, Bernoulli James在研究与钟摆运动有关的“等时曲线问题”时通过分析建立了常微分方程模型, 并用分离变量法解出了曲线方程. 1691年, Leibniz G提出了求解变量可分离方程 的“变量分离法”， 并首次应用后来被称为Briot-Bouquet变换的y=ux解决了齐次方程 的求解问题. 之后，Bernoulli John, Bernoulli James, Leibniz G进一步改进了分离变量法和变量代换法.
1715-1718年，Taylor B讨论微分方程的奇解、包络和变量代换公式. 1734年, Clairaut研究了以他名字命名的Clairaut方程, 发现这个方程的通解是直线族. 之后， Clairaut和Euler对奇解进行了全面的研究, 给出从微分方程本身求得奇解的方法. 1772年, Laplace P将奇解概念推广到高阶方程和三个变量的方程. 两年后, Lagrange J给出了一般的方法和奇解是积分曲线族的包络的几何解释. 奇解的完整理论是在19世纪发展起来的, 由Cayley和Darboux在1872年给出现代的形式. 1754年, Lagrange J在“等时曲线问题”上取得重要进展, 并开创了变分学.
以上的一些方法是解常微分方程的常用手段. 这些技巧和本文将要探讨的“积分因子法”一起均为解决常微分方程常用和有效的方法.
1734-1735年Euler L提出了全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, 并给出了此方程是全微分方程的条件: ∂M/∂y=∂N/∂x.
当一个一阶方程不是全微分方程时, 往往可以将方程乘上一个叫作积分因子的量, 使它变为全微分方程. 积分因子法虽说在一阶方程的特殊问题中已经采用(如John Bernoulli曾用此方法求解一些变量可分离方程), 但是领会到积分因子这个概念, 并把它作为一种方法提炼出来的却是Euler, Euler L确立了可采用积分因子法求解的方程的类属；证明了凡能用分离变量法求解的方程都可用积分因子法求解, 但反之不然；证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子, 那么令它们的比等于常数, 就是微分方程的一个积分；还证明了对于高阶方程, 用分离变量法求解是行不通的；还曾试图利用积分因子的方法统一解决一阶常微分方程的求解问题.
1739-1740年Clairaut A 独立地引入了积分因子的概念, 也提出了“积分因子法”.
本课题讨论的解一阶常微分方程的积分因子法，是求解微分方程的一个极其重要的方法. 凡形状如P（x,y）dx+Q(x,y)dy=0的一阶微分方程，原则上都可用积分因子法求解．对于一阶常微分方程P（x,y）dx+Q(x,y)dy=0的求解，通常是先观察该方程是否为线性方程、变量分离方程、全微分方程. 若是三种方程其一，则可以用相应方法求解. 若不属于以上三类方程，则可尝试用积分因子法求解，积分因子法求解方程P（x,y）dx+Q(x,y)dy=0就是寻找一个可微的非零函数 μ(x,y)，使得方程μ(x,y)P（x,y）dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0成为一个全微分方程 ,亦即μ(x,y)满足（μP）y=(μQ)x，然后再用全微分方程的解法求解方程μ(x,y)P（x,y）dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0利用前两个方程的等价性得出方程P（x,y）dx+Q(x,y)dy=0的解. 其中满足方程（μP）y=(μQ)x的可微非零函数μ(x,y)称为方程P（x,y）dx+Q(x,y)dy=0的一个积分因子.
主要研究内容
对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式. 但是, 并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程, 因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就成为解决原微分方程的关键，而寻找积分因子也具有一定技巧.
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