积分因子法在一阶常微分方程求解问题中的应用(4)
由此可知，方程（1）有只与x有关的积分因子的充要条件是
(∂M/∂y-∂N/∂x)/N=φ(x), (6)
这里φ(x)仅为x的函数，假如条件（6）成立，则根据方程（5），可以求得方程（1）的一个积分因子 .
存在只与y有关的积分因子
同样，（1）有只与y有关的积分因子的充要条件是
(∂M/∂y-∂N/∂x)/(-M)=φ(y),
这里φ(y)仅为y的函数. 从而求得方程（1）的一个积分因子μ=e^∫▒〖φ(y)dy〗.
存在 形式的积分因子
由上述可得，方程（1）有 形式的积分因子的充要条件是
(∂M/∂y-∂N/∂x) (M±N)^(-1)=f(x±y).
存在 形式的积分因子
方程（1）有 形式的积分因子的充要条件是
(∂M/∂y-∂N/∂x) (My±Nx)^(-1)=f(x^2±y^2 ).
存在 形式的积分因子
方程（1）有 形式的积分因子的充要条件是
1/(x^α y^β ) (∂M/∂y-∂N/∂x) (αN/x-βM/y)^(-1)=f(x^α y^β ),
延伸1：存在形如μ(x,y)=F(η)形式的积分因子
方程（1）具有形如μ(x,y)=F(η)积分因子的充要条件是：存在函数
f(η)，使(∂N/∂x-∂M/∂y) 1/f(η) =∂η/∂y M-∂η/∂x N成立，且积分因子
μ(x,y)=F(η)=exp[∫▒〖f(η)dη〗].
推论1：方程（1）有形如μ(x,y)=F(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)积分因子的充要条件是存在函数f(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)，使
(∂N/∂x-∂M/∂y) 1/f(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v ) =bλx^γ y^(λ-1) M+cvy^(v-1) M-aux^(u-1) N-brx^(γ-1) y^λ N
（其中a、b、c为不全为零的常数）, 且积分因子
μ(x,y)= exp[∫▒〖f(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)d(ax^u+bx^γ y^λ+cy^v)〗].
推论2：方程（1）有形如μ(x,y)=F(ax^u+cy^v)积分因子的充要条件是存在函数f(ax^u+cy^v)，使
(∂N/∂x-∂M/∂y) 1/(f(ax^u+cy^v))=cvy^(v-1) M-aux^(u-1) N
成立（其中a、c是不全为零的常数）, 且积分因子
μ(x,y)= exp[∫▒〖f(ax^u+cy^v)d(ax^u+cy^v)〗].
推论3：方程（1）有形如 μ(x,y)=F(x^γ y^λ)积分因子的充要条件是存在函数f(x^γ y^λ)使 (∂N/∂x-∂M/∂y) 1/(f(x^γ y^λ))=〖λx〗^γ y^(λ-1) M-γx^(γ-1) y^λ N 成立，且积分因子
μ(x,y)= exp[∫▒〖f(x^γ y^λ)d(x^γ y^λ)〗].
证明：方程（1）有形如μ(x,y)=F(η)积分因子的充要条件是
∂FM/∂y=∂FN/∂x,
又
∂FM/∂y=M dF/dη ∂η/∂y+F ∂M/∂y,∂FN/∂x=N dF/dη ∂η/∂x+F ∂N/∂x,
代入整理得
(∂η/∂y M-∂η/∂x N) dF/dη=F(∂N/∂x-∂M/∂y),
即
∂N/∂x-∂M/∂y=(∂η/∂y M-∂η/∂x N) 1/F dF/dη=(∂η/∂y M-∂η/∂x N) dlnF/dη,
记
下一篇：函数一致连续性的判断及应用