积分因子法在一阶常微分方程求解问题中的应用(5)
dlnF/dη=f[η] , (7)
则有
(∂N/∂x-∂M/∂y) 1/(f[η])=∂η/∂y M-∂η/∂x N,
由（7）式的积分因子F(η)=exp[∫▒f(η)dη].
当η=ax^u+bx^γ y^λ+cy^v,
则
∂η/∂x=aux^(u-1)+brx^(γ-1) y^λ,∂η/∂y=bλx^γ y^(λ-1)+cvy^(v-1),
即得推论1.当η=ax^u+cy^v，
则
∂η/∂x=aux^(u-1),∂η/∂y=cvy^(v-1),
即得推论2. 当η=x^γ y^λ，
则
∂η/∂x= γx^(γ-1) y^λ,∂η/∂y=〖λx〗^γ y^(λ-1),
即得推论3.
（显然，推论2、推论3可看做推论1的特例）
延伸2： 存在形如f(x^α y^β )g(ax^t+by^s)乘积形式的积分因子
对常微分方程（1），若∂M/∂y-∂N/∂x≠0，则方程具有
f(x^α y^β )g(ax^t+by^s)乘积形式的积分因子的充要条件是下面的关系式成立：
(∂M/∂y-∂N/∂x)/[f^' (z_1 )g(z_2 )(αx^(α-1) y^β N-βx^α y^(β-1) M)+g^' (z_2 )f(z_1)(atx^(t-1) N-bsy^(s-1) M)] =1/f(z_1 )g(z_2 ) ,
其中z_1=x^α y^β，z_2=ax^t+by^s.
证明：由全微分方程的定义，积分因子f(x^α y^β )g(ax^t+by^s)应满足关系式：
(∂(fgM))/∂y=(∂(fgN))/∂x,
稍加整理即得到：
(∂M/∂y-∂N/∂x)/[f^' (z_1 )g(z_2 )(αx^(α-1) y^β N-βx^α y^(β-1) M)+g^' (z_2 )f(z_1)(atx^(t-1) N-bsy^(s-1) M)] =1/f(z_1 )g(z_2 ) ,
于是结论成立.
2.3 几种常见类型微分方程的积分因子
由上述几类积分因子存在的充要条件不难推出以下几个命题：
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