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式中， 表示试探函数。
一旦确定了泛函，即可用下述步骤来求解。为简单起见，我们假设问题是实数值的，并假定（2-5）式中的 可近似展开为
（2-6）
式中， 是定义在全域上的展开函数， 是待定的展开系数。 仍表示列向量，上标T表示向量的转置。将（2-6）式带入到（2-5）式中，我们得到
￡ （2-7）
为了求 极小，我们令其对 的偏导数为零，从而得到线性代数方程组：
￡ ￡
= ￡ + ￡ ）
=0 =1,2,3,…，N （2-8）
可将其写成下列矩阵方程 （2-9）
的元素为
￡ + ￡ ） （2-10）
的元素为
（2-11）
显然， 是对称矩阵。引用算符￡的自伴性质， 可写成
￡ （2-12）
求解矩阵方程（2-9）式，即可得到（2-1）式的近似解。
2.1.3 伽辽金方法
伽辽金方法属于残数加权方法类型，正如其名称所指，它通过对微分方程的残数求加权方法得到方程的解。假设 是（2-1）式的近似解，用 代替（2-1）式中的 ，得到非零的残数
￡ （2-13）
的最佳近似应能使残数 在 内所有点上有最小值。残数加权法要求
（2-14）
这里 表示残数加权积分， 是所选择的加权函数。
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。通常，这样可得到最精确的解。因而，这是建立有限元方程的常用途径。为了更清楚地说明这种方法，我们假设方程的解可用(2-6)式中的方法表示，那么，加权函数选为
i=1,2,3, …,N (2-15)
因此，（2-14）式变成
￡ i=1,2,3, …,N (2-16)
这里同样得到了（2-9）式给出的矩阵方程组。在此，除非算符￡是自伴算符，否则，矩阵 不一定是对称的。在算符￡为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。