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2.2.2 修正变分原理
为了应用标准变分原理，微分方程的算符必须是自伴的。对于一个自伴算符，算符本身以及边界算符必须是实数或实函数，另外，边界条件必须是齐次的。因此，去掉这两个条件十分重要，否则，它们将严重限制变分方法的应用。这里我们先考虑第二个条件，将变分原理修正为能处理非齐次边界条件的变分法。
考虑（2-17）式定义的边值问题以及一组非齐次边界条件。这个问题是非自伴的，然而，只要引进新的未知函数 后，非自伴的问题即可转化成自伴问题。这里的 是满足给定非齐次边界条件的任意函数。结果，新的函数 满足齐次边界条件，因而问题可以变成自伴的。因此，可以用标准变分原理来建立问题的泛函。将 带入（2-17）式， 的微分方程可以写成
￡ （2-28）
式中 ￡ ，因此，（2-28）的泛函为
﹤￡ , ﹥ （2-29）
即
﹤￡ ﹥ ﹙ƒ－￡ )>
﹤﹙ƒ－￡ ), （2-30）
既然只对未知函数 取变分，那么，可以丢掉不含Φ的项。因此，泛函可写成
﹤￡Φ, Φ﹥－ ﹤￡Φ, ﹥﹢ ﹤Φ, ￡ ﹥
上式右边第二项和第三项通常可转化成边界积分或边界项，其中 在应用边界条件后消失。我们称上面描述的结果为修正变分原理，在此重述如下：给定边值问题（2-17）式，如果算符￡在齐次边界条件下是自伴的，那么，其解可通过求泛函（2-31）式的驻点而得到，其中 是满足给定非齐次边界条件的任意函数。
2.2.3 广义变分原理
上节给出的修正变分原理能够用来列出几乎所有无耗煤质的电磁学问题的计算公式。但是，它不能用于有耗煤质，因为这些问题的有关算符是复数或复函数，这些算符是非自伴的。在本节中将重新定义内积，从而去掉这个限制条件。
将自伴算符限制在实算符范围内的条件直接来自于有关内积的定义（2-21）式。如果不用（2-5）式，而将内积重新定义为
（2-32）
那么限制条件立即被取消了。因此，内积定义的选择在某些情况下决定了一个算符是否自伴。（2-21）式定义的内积通常称为希尔伯特（Hilbert）空间中的内积；而（2-16）式定义的内积通常叫做对称积。
如果用（2-32）定义的内积，在2.1节中描述的标准变分原理还是成立的。下面我们具体证明一下。
取（2-20）式给出的泛函F的第一变分，得到
﹤￡δΦ,Φ﹥﹢ ﹤￡Φ,δΦ﹥ （2-33）
因为￡在内积的新定义下是自伴的，所以，上式可写成
﹤δΦ, ￡Φ－ƒ﹥ （2-34）
强加驻点条件 ，我们得到
﹤δΦ, ￡Φ－ƒ﹥=0 （2-35）