进行改进的快速算法。依据 DFT 的定义，输入为�(�) ，则输出为

为旋转因子。一般情况下，输入和输出都是复数，整个 DFT 运算需 4N 次实

数乘运算和 2N（2N-1）次实数加运算。则 N 较大时，运算次数会变得非常大，所以减少计算

量至关重要，尤其是在实时性要求较高的场合。

FFT  的基本思想是，利用���

的周期性、对称性及可约性将原来的 N  点序列分解成两个

或更多的较短序列。这些短序列的 DFT  能够重新组合成原序列的 DFT，但总的运算次数要

比直接进行 DFT  要少很多，从而提高运算的速度[4]。旋转因子���

的性质如下：

FFT 算法分为两种：时域抽取（DIT）和频域抽取（DIF）。一般将 FFT 运算中最小的 DFT

运算单元称作基(radix),按基数的不同可分为基 2、基 4 等。 基 2 算法计算公式：

FFT 的算法中，随着基数增加，FFT 运算速度加快，但同时所耗资源也越多，实际工作

中要权衡速度和资源的关系。

1。4  频率估计技术的发展

第二次世界大战以来，由于雷达和声纳在战争中的广泛应用，人们开始关注一项关键技 术——对淹没在噪声中的正弦信号的频率估计。由此，频率估计技术开始发展成一个相对独 立的研究领域。

1958 年，Blackman 和 Turkey 提出了一种利用自相关函数傅里叶变换的采样的功率谱估 计方法，称为频谱估计的自相关方法，用此可估计的正弦波的频率。1965 年，Cooley 和 Turkey 首次提出快速傅里叶变换算法（FFT），离散傅里叶变换（DFT）的计算因此降低了两个数量 级。随着计算机运行速度的提高和计算机的普及，快速傅里叶变换和频谱分析迅速发展起来。 1967 年，J。 P。 Burg 提出了最大熵谱估计法。1969 年，J．Capon 提出最大似然估计法。 由此开始了高分辨率谱估计的时代。1973 年，Pisarenko 提出了谐波分解方法[8]，可进行较可 靠的频率估计；1975 年，John C．Burges 等采用插值法[9]，校正加矩形窗的离散化频谱，解 决了精确估量离散高次谐波参数的问题；1979 年，Schmidt 提出的多重信号分类(MUSIC)算法 是子空间信号处理算法中的一个重大里程碑。1983 年，Thomas Grandke 提出加汉宁窗的内插 法[10]，再次提高了离散高次谐波参数的估量精度；1993 年，丁康、谢明提出了三点卷积幅值 校正法[11]；第二年，他们和黄迪山等一起发展了频谱校正方法[12][13]，解决了精确求解较大间 隔的离散化频谱的频率、幅值和相位问题；1995 年，刘进明、应怀樵等引入了频谱细化的概 念，提出了 FFT 谱细化分析的傅里叶变换法[14]，有效提高了频率分辨率和估计精度；1998 年

刘渝提出了一种采样信号做�点和�⁄2点 FFT 的校正方法[15]，此方法不用知道窗函数的表达

式，直接利用相位差进行相位和频率校正；2003 年，丁康、钟舜聪总结之前相位差校正方法

的思想，提出了一种离散频谱相位差校正的一般方法[16]；2006 年，张英龙、刘渝提出的正弦 波频率估计方法[17]基于频偏校正，时频域算法相结合，可有效地提高精度和计算效率。各种 改进的和新的算法层出不穷，正有越来越多的学者对频率估计进行着深入的研究。

1。5 本文所作的工作及论文结构

本文介绍了 FPGA 和 FFT 的基础概念，利用 FPGA 的流水线和高度并行处理的特点实现 FFT 的计算。理论算法中，介绍了对输入信号的处理方法，并用 MATLAB 实现。而由于 FFT 算法的栅栏效应会造成一定误差，本论文重点讨论了两种可提高信号频率估计精度的算法，