假设单元虚位移与实际位移有相同的位移模式，代入上式后进行约分就可以得到单元应力和单元节点力的转换方程为：

把单元应力和单元节点位移的转换式代入上式中就可以得到单元节点位移和单元节点力的转换方程式：

其中[K]被称为单元刚度矩阵，他是单元节点力和节点位移的转换矩阵，可以简称为单刚。在三节点三角形单元中，几何矩阵为常量，如果单元的材料是均匀的那么弹性矩阵就是常量，如果厚度也不变，那么这些量都可以提到积分外，得到：来,自.优;尔:论[文|网www.youerw.com +QQ752018766-

将前面得到的弹性矩阵、几何矩阵带入上式可以求出单刚的表达式为：

在建立有限元基本方程需要通过单元刚度矩阵把节点力转换成节点位移，求出节点位移后又要用单元刚度矩阵求出节点力，从而求得支座反力。因此，求单元刚度矩阵是有限元分析非常重要的一步。单元刚度矩阵有以下重要性质：第一，单元刚度矩阵中各元素的数值由单元的形状、方位、大小等决定，与单元位置无关，不随单元坐标变化而变化；第二，单元刚度矩阵具有对称性，利用这个性质在计算时只需要计算下三角或上三角矩阵就行了，可以减少计算量；第三，单刚是奇异矩阵，即矩阵的行列式为零，利用这个结论可以检验单刚的计算是否正确。

为了在节点上建立平衡方程从而求出节点位移，作用在单元上的体力、面力以及不在节点上的集中力必须移置到节点上，形成单元节点载荷。最后，把同一节点上的载荷叠加，就形成了整体节点载荷。载荷移置的原则是虚功等效，在按虚功等效进行载荷移置时，假设虚位移的位移模式和实际位移模式相同，这样移置的结果就是唯一的，将各种移置的载荷相加就形成了载荷矩阵。 

2。3  加载求解

式(2-13)给出了一般应力的求解公式，然而热应力的求解与一般应力稍有不同，因为热问题中弹性体的应变包括两部分：自由胀缩和弹性应变。所以热应力的求解公式应为：

前面的单元分析分析了单元内任意点位移、单元应力、单元应变和节点力与节点位移之间的转换关系，并且研究了将各种载荷移置到节点上的方法，接下来的问题是怎么求节点位移和温度场。因为单元集合体的节点位移是由节点载荷造成的，所以要求节点位移就要找到它和节点载荷之间的关系。前面已经知道了节点位移与节点力之间的关系，所以只要知道节点力和节点载荷的转换关系问题就解决了。以单元集合体上的某个节点为研究对象，它在节点力和节点载荷的作用下处于平衡状态，即节点周围单元移置到该节点上的总载荷与对它总的节点力相等，得到平衡方程：