RC电路时间常数测量方法的研究(2)
1. 实验原理
1.1 教材中常用到的充电0.632值法
用函数信号发生器作为信号源，通过示波器观察波形，采用时标观测法读出时间常数τ值，其实验电路如图1所示: 图1 实验原理图
由于电容两端的电压不能突变，结合电路初始条件，我们可以简单推导出电容两端的电压随时间t的变化关系[6,7]：
充电过程： 放电过程：
在电容充、放电的过程中，其电压均按指数规律变化。令τ=RC，τ称为RC电路的时间常数。当t=RC时，由充电公式可得电容的充电电压为0.632E，此时，电容的电压上升到信号源电压最大值的63.2%。可在示波器上通过时标观测找出电压从0上升到0.632E处所对应的点，读出对应的时间τ值。如图2所示：
图2 不同的τ值对应的电容电压与时间的曲线图（a-τ小；b-τ大）
实验观察电容两端电压波形如下图3所示：
图3 电容两端电压波形图
1.2 改善充电0.632法
在教材中，只要求固定频率f和电容C的大小，通过改变电阻值来观察波形，但许多同学往往选择大阻值电阻，这样会造成如图4所示的情况。
图4 充放电不足时电容电压随时间的变化关系曲线图
电容电压还没有充电到信号源的高电势就开始放电，还没有放电到信号源的低电势就又开始新一轮充电，使得测量误差偏大。经过分析，我们应该选择合适的电阻值，使电容电压在方波高电位半周期内可以达到高电位E。在方波低电位半周期内可以降到低电位0处。
当t=4τ时
=0.982E
当t=5τ时
=0.993E
所以，应选择适当的电阻R使充电时长t=4τ~5τ,这样就可以近似认为电容已经充电完毕，然后再在示波器上通过时标法观测出τ值。
1.3 对教材中的τ值计算公式进行修正
在RC串联电路的暂态过程试验中，一般以方波为信号源输入电路，电容两端电压随时间变化规律可描述为：
故可以通过测定电路的充、放电的半衰期T1/2（即uc从0增加至E/2或由E减少至E/2所需的时间）来进行实验[8]。经推导可得：
τ测 =T1/2/ln2
但在实际的实验中观察到电容在起始充电时间内并没有完全充电到E就开始放电。从示波器上观察到的电容电压波形振幅E′一定是小于方波的振幅E的。由此求出的τ值必将产生一个误差，所以有必要进行修正。
设达到稳定时电容器从放电最低电势An达到充电最高电势Bn，再由充电最高电势Bn放电到最低电势An，如图5所示：
图5 不完整的充放电过程图
根据公式（1）考虑在t=0、T/2、T、3T/2、……半个方波内的充放电的变化过程可得出：