高阶叠层基函数应用于矩量法分析电大尺寸物体的散射特性(3)
本章首先简要介绍了矩量法的基本原理，求解过程，接着讨论矩量法在计算电磁散射，辐射问题的几个问题包括：积分方程和选取基函数和检验函数。
2.1 矩量法的基本原理
矩量法的原理是采用离散的子域来代表整个连续区域。在子域中，未知函数用带有未知系数的基函数来表示。因此，无限个自由度的问题就被转化成了有限自由度的问题。然后，用适应的方法得到一组代数方程(即线性方程组)，最后通过求解线性方程组获得解，未知系数。用矩量法求解积分方程包括下列步骤:
(1) 区域的离散或目标的剖分；
(2) 基函数和权函数的选择；
(3) 阻抗元素的求解；
(4) 方程组的求解。
在求解理想导电目标的电磁散射或发射问题时，根据麦克斯韦方程和边界条件，我们最后得到的是一个非齐次方程。为了了解矩量法如何应用在求解电磁散射，辐射问题，我们去考虑如下的非齐次线性算子方程：
式中 为线性算子， 是已知函数如激励函数， 为未知函数如响应，面电流。假设算子方程的解存在，而且是唯一的，于是也存在逆算子 ，则使 成立。算子 的定义域为算子作用于其上的函数 的集合，算子 的
值域为算子在其定义域上运算而得的函数 的集合。
直接求解式（2.1） 方程的精确解是很困难的，但可以通过近似求解方法来获取方程的近似解。方程(2.1)的一般求解方法就是将未知函数 在 的定义域内近似展开为已知函数 , …..的线性组合，如
（2.2）
式中： 为展开系数； 为一组线性无关的已知函数（称为展开函数，基函数或形函数）。
对于方程的精确解，N一般为无穷大。因此，当N有限时，式（2.2）中 是未知函数 的近似表示。当用来展开未知函数的基函数选取比较合适时，随着基函数的数目增大， 逼近精确解 ，也就是说 满足收敛特性。
将未知函数展开为已知函数（基函数）的过程称为对未知函数的离散。将离散后得到的近似函数代入式（2.1），方程一般来说不能准确成立。定义其差域或者余量R为
用R来定量地表示由近似解的误差引起算子方程两端的误差。
若在线性函数空间中已经定义了内积，在算子值域内选择一组线性无关的函数 ，用这些函数对余量进行检验可得到下面的线性方程组（2.4）
其中，函数 称为权函数，检验函数或者试验函数。方程组可写成下面的矩阵形式：
如果矩阵 是非奇异时，其逆 存在，则 可以通过下式计算得到 （2.7）
算子方程的近似解可通过式（2.2）计算获得。
总之，求解电磁问题的矩量法的一般过程可以归纳成下面的三个基本求解过程：
(1) 离散化过程
这一过程的主要目的是将算子方程化为线性方程组，包括适当的选择一组线性无关的基函数；将未知函数 表达为该组基的线性组合，并且取有限近似表示；利用算子的线性，将算子方程化为代数方程。只要求出基函数的系数就可以得到方程的近似解。
(2) 取样检验过程
为了使近似解和精确解之间的误差极小，必须进行取样检验。在这个过程中，要适当地选取一组线性无关的权函数；将权函数与算子两边进行抽样，实际上是取内积。在抽样点上，使加权平均误差为零，从而建立线性方程组，将求解代数方程的问题转化为求解线性方程组的问题。
(3) 矩阵的求逆过程
求解线性方程组时采用常规的求逆，就可得到它的解。从求得的展开系数反过来得到原来算子方程的解。