高阶叠层基函数应用于矩量法分析电大尺寸物体的散射特性(5)
展开式（2.2）中每一个展开系数 只在所对应的区域内影响近似解 。这样一来，可以简化矩阵元素的计算。子域基函数的最一般形式可表示为
式中： 为基函数fn所对应的子域。可以看出，子域基函数的定义与未知函数定义域的子域密切相关，对子域的划分直接影响到基函数的形式。
子域基函数的构造一般包括下面的步骤：
(1) 将积分方程算子中的定义域划分成许多小的子区域；
(2) 在这些子区域内定义参数，并用这些参数构造子区域内的基函数；
(3) 将所有子区域的基函数进行叠加近似表示未知函数。
可以看出，子区域的划分和子区域内基函数的构造是子域基函数的关键。子区域的划分需要考虑子区域的大小，形状以及对原来求解区域的逼近准确度。以三文面问题为例，子区域可以采用三角平面元，四边形平面元和曲面元等多种形状表示，其中三角平面元最为简单，但对于像球这样的曲面，三角平面元表示会产生一定的误差。采用曲面元在区域表示上准确度较高，但形势较为复杂，从而使得子区域内基函数的构造也较为复杂。目前较常用的子区域划分方法包括三角平面元和四面体元。三角平面元用于离散三文面问题，四面体元用于离散三文体问题。近年来，曲面元离散已渐渐成为研究热点。
划分完子区域后，在子区域内定义基函数需要给合子区域类型和具体的积分方程进行选择。对于三文电场表面积分方程，当采用三角平面元离散时，比较常用的基函数包括脉冲基，三角屋顶基(RWG)等，当采用曲面元离散时，可以采用脉冲基，插值矢量基以及分级多项式基函数等。对于三文电场体积分方程，当采用四面体元离散时，比较常用的基函数包括脉冲基，三文屋顶基(三文RWG)和高次插值矢量基等。
检验基函数的选取也是多种多样的，与子区域的类型有关。比较常用的检验基函数选取方法包括点选配（点脉冲函数检验）和伽略金法（基函数检验）等。接下来我们去分析两种常用的子域基函数平面三角形基函数RWG和曲面三角形基函数CRWG。
2.3.1 平面三角形基函数
当采用矩量法求解导体目标和均匀介质目标的表面积分方程时，需要将目标表面划分为许多小的子区域，平面三角形是应用最为广泛的一种划分方法。如图2-1所示的平面三角形，其中 分别表示三角形三个顶点的位置矢量，与三个顶点正对三条边边长为 。三角形内任意一点 与三个顶点连线矢量定义为 。 ， 和 分别表示垂直于三条边指向三角形外的单位矢
量， 表示三角形的面积。
图2.1平面三角形内的几何关系
平面三角形内任意点 处未知电流 可展开为：
可以很容易验证， （i=1,2,3）在第i条边上的法向分量为 ，在其他两条边上法向分量为零。这样构造出的基函数通常称为屋顶基函数，也称为RWG基函数（RWG为三位首先提出这种基函数的学者Rao，Wilton和Glisson的三个名字首字）。在两个三角形公共边上，由于两个三角形基函数在边上法向分量均为1，因此可以采用同一个展开系数来表示，这样，两个三角形上的电流在边界上满足法向连续。如图2.2所示，在与第 条边（内边）相关的一对三角形 和 上分别利用式（2.24）建立与边 相关的基函数。为了使两个三角形内的电流能公用一个展开系数，在三角形 上取 正方向为 ，在三角形 上取 负方向为 。建立与边 相关的两个三角形上的基函数表示如下：
2.26）
式中： 和 分别表示三角形 和 的面积； 表示第 条边的边长。
图2.2相邻三角面元对的几何关系