随着科学技术和经济的快速发展，数值模拟技术迅速发展，为各个领域深入研究奠定技术基础。数值模拟也叫计算机模拟，是依靠电子计算机，结合有限元或有限容积的概念，通过数值计算和图像显示的方法，达到对工程问题和物理问题乃至自然界各类问题研究的目的。

   大多运用在油藏、地下水、工艺品、建筑模型、物理化学模拟等方面，与实验操作相比具有成本低、数据采集点多、计算速度快、操作简单等优点。由于已经掌握斑图的产生机制，可以对反应扩散系统中的图灵斑图进行数值模拟，改变如活化子、禁阻子的扩散系数等参数来得到不同的斑图，本文主要研究反应扩散二维系统的数值模拟，研究不同参数对应的斑图形态（条状斑图，六边形斑图，四边形斑图）。

（二）、国内外的研究状况

  本文的重要工作

   本文重点主要研究的是对于一个合适的反应扩散模型，如何利用计算机模拟来重复实验上所观察到一些图灵斑图，并得到各种图灵斑图对反应扩散系统的参数的依赖关系。

第二章、反应扩散系统中的图灵斑图介绍

（一）、斑图动力学

    斑图动力学是以横向学科的形式出现，是随着最近非线性科学发展而逐渐形成的。斑图动力学研究的是各系统之间的共同存在的，具有普遍指导意义的斑图形成规律。斑图动力学研究的重点是反应扩散系统，而斑图动力学是非线性科学的分支。由此，我们可以得到，化学反应中的动力学问题基本都是非线性问题。根据热力学第二定律，一个系统的吉布斯函数可以写为G=H-T*S，G是系统的吉布斯自由能，H是系统的自由焓，S是系统的熵，T是系统的温度，我们都知道，自发反应是朝着熵增大的方向进行，由公式可得自发反应的吉布斯自由能逐渐减小，也就是想热力学平衡方向移动。这说明在热力学平衡态附近动力学方程可以看成线性的，但也可近似成非平衡态来研究。至于远离热力学平衡态，毫无疑问动力学方程是非线性的，非线性问题成为此类方程求解的重要问题。像这种非线性行为与线性行为的耦合，系统可以自发地进行有序或无序的斑图形态，这就是反应扩散系统的斑图动力学问题。

（二）、反应扩散方程

    从数学角度出发，一个反应扩散系统可以用偏微分方程来描述。具体如下：   

  其中C为反应物浓度向量， 为系统控制参量的总和，f是系统的动力学函数，D是扩散系数矩阵， 2是拉普拉斯算符。为了避免讨论边界条件引起的复杂效应，人们总把系统定为无限大，系统的起始条件定为空间均匀态。反应扩散方程在物理学、力学、化学、生态学等领域有广泛的运用，而不是仅适用于研究图灵斑图，比如生态系统中的捕食者-猎物模型[3]，物理系统的气电模型[4]，生活中传染病的传播[5]，森林火灾的蔓延[6]等，可以说反应扩散方程是描写自然界本质特征的基本方程之一。

由反应扩散系统的微分方程可知，反应扩散方程的扩散项是线性项，不可能从一个空间态自组织形成一个有序的、非均匀的渐近稳定结构。由此可得到形成斑图要求扩散项f(C, )一定是非线性的。由于反应系统的动力学行为，在热力学平衡态附近总可以近似看成线性的，斑图自组织的一个必要条件就是必须远离热力学平衡态。斑图自组织还有其他条件，我们在前面已经提到过，要有活化子（系统中某种物质加快反应的进行）和禁阻子（系统中某种物质抑制反应的进行），即存在一个反馈回路。可见，选择一个合适的化学振荡系统是研究反应扩散系统中的重要环节。